Capitolo due è allestito, introdotto dall’invitation#2 dedicata all’analisi degli articoli di G. Crooks [8] Nonequilibrium Measurements of Free Energy Differences fon Microscopically Reversible Markovian Systems, J. Stat. Phys. 90, 1481 (1998) ed [9] Entropy Production Fluctuation Theorem and the Nonequilibrium Work Relation for Free Energy Differences, Phys. Rev. E 60, 2721 (1999).

Ecco un nuovo progetto musicale di quelli veramente arditi. Una cosa che non si risolve in pochi anni di studio e lavoro, ma non deve per forza essere completa (anzi non sarà mai completa per natura) per essere ascoltabile. Variazioni per pianoforte su un tema, da scegliere in un cantus firmus gregoriano, a ripercorrere tutta la storia della musica, compreso il jazz e la musica leggera (oltre che la musica "colta" contemporanea, e la musica antica ovviamente). Ogni variazione è uno stile compositivo, o un autore (o un periodo di un autore, per Beethoven). La scrittura di ogni variazione dovrebbe essere preceduta dallo studio di un genere o uno stile, compreso il contrappunto antico e quello bachiano.

Due racconti che ormai bazzicano spesso nei pensieri.

Il primo è la storia dell’anarchico che si sceglie pochi metri quadrati e vi dichiara uno stato indipendente, con una sua legge. All’arresto inizia il processo, a lui e da parte sua nei confronti del resto del mondo, e non si sa se alla fine dietro le sbarre ci sia lui o gli altri.

Il secondo è il racconto (in gran parte dialoghi) dello scienziato a cena costretto a sentire cose assurde e insopportabili da parte di gente importante, filosofi, mogli, politici etc. riguardo alla scienza, e la sua incapacità a far capire qualsiasi cosa che riguardi la scienza. Alla fine cosa succede?

Lettura di Udo Seifert, Entropy production along a stochastic trajectory and an integral fluctuation theorem, e di Ken Sekimoto, Langevin Equation and Thermodynamics, con annessi appunti. Sono articoli semplici ma di fondamentale importanza per porre le basi di una termodinamica microscopica. Sekimoto nella sua introduzione afferma che tra i tre livelli possibili di descrizione dei fenomeni statistici (Hamiltoniano deterministico microscopico / mesoscopico stocastico / termodinamico, ordinati per successiva cancellazione di dettagli deterministici) esistono relazioni (meccanica statistica <-> termodinamica, meccanica statistica <-> processi stocastici tramite il formalismo di Zwanzig-Mori, da cercare) e questo articolo colma l’ultimo vuoto lasciato nell’interpretazione di grandezze termodinamiche a livello microscopico. In verità Sekimoto con fatica minima si riduce ad esporre una versione microscopica per la prima legge della termodinamica per l’equazione di Langevin, e a derivare la seconda legge per medie di ensemble. Molto più interessante il lavoro di Seifert, che definisce un’entropia microscopica per processi di Langevin e per master equations.

Lettura e appunti dal Handbook of Stochastical Methods di Gardiner. E’ molto illuminante scoprire come la semplice richiesta di Markovianità di un processo stocastico vincoli l’evoluzione temporale della proabilità condizionata in maniera così chiara e concisa. L’equazione di Chapman-Kolmogorov per le probabilità condizionate p = p(x|y), troncata al second’ordine nell’espansione di Kramers-Moyal, contiene tre termini: un termine di drift che preso singolarmente fornisce semplicemente l’equazione di Liouville:

e cattura quindi il moto deterministico in un campo A; un termine di diffusione, che fornisce le fluttuazioni continue attorno alla traiettoria deterministica. Questi due termini, che garantiscono la continuità della traiettoria, insieme formano l’equazione di Fokker-Planck:

Per tempi brevi partendo dalle condizioni iniziali opportune questa fornisce un processo gaussiano, quindi continuo, che lentamente si allarga a partire dalla delta iniziale. L’ultimo termine contiene l’informazione sui salti discontinui, detti jump processes; nel caso in cui lo spazio delle fasi sia discreto non esiste ovviamente la possibilità di traiettorie continue, per cui l’equazione di Chapman-Kolmogorov si riduce alla master equation:

L’altro filone di letture che piacerebbe continuare a portare avanti è quella sugli assiomi della meccanica quantistica, ed in particolare il principio di equivalenza proposto da Faraggi e Matone. In particolare due spunti potrebbero essere interessanti:

1 - Vedere se e come c’è overlap tra l’approccio tramite principio di equivalenza e la proposta di Lucien Hardy di derivare la meccanica quantistica da cinque semplici assiomi, quattro dei quali sufficienti per descrivere la teoria delle probabilità. Il quinto assioma è un assioma di esistenza di una trasformazione continua tra gli stati di un sistema quantistico finito dimensionale - mentre l’approccio di Faraggi-Matone prevede l’esistenza di una trasformazione invertibile tra stati, ma in un setting completamente diverso.

2 - Vedere se e come è possibile ripristinare lo spin e la sua quantizzazione, vedendo per esempio che conseguenze ha l’EP sul momento angolare orbitale p X q. Anche se ovviamente il momento angolare orbitale non è l’analogo classico dello spin, o del momento angolare totale, pure l’approccio EP ci ha abituati a discernere quello che è p all’interno della teoria e quello che il momento classico. in particolare non esistendo un isomorfismo canonico tra tangente e cotangente non è possibile parlare di velocità, ne di equazioni del moto, ma solo di trasformazioni canoniche. il p della teoria pur essendo formalmente analogo al momento non ha un significato fisico, come d’altra parte l’azione quantistica S(q), che non corrisponde all’azione semiclassica che si trova in approssimazione WKB, ma è anzi definita in maniera tale che l’equazione d’onda sia effettivamente exp iS(q). non stupirebbe quindi di scoprire che queste entità matematiche, che estendono quantisticamente le nozioni classiche, possano contenere di più del loro analogo - per esempio nel caso di p X q, chissà che passando poi al formalismo quantistico non salti veramente fuori lo spin.

La formula dell’entropia inscritta sulla lapide di L. Boltzmann secondo il suo volere.

Abbiamo parlato di sistemi, aperti, chiusi o isolati, senza mai entrare nel dettaglio di come sia composto o di cosa succeda dentro il sistema. Parallelamente a questo approccio "dall’alto", macroscopico, si può cercare di partire dai singoli componenti del sistema e di cercare di dare un’interpretazione microscopica delle grandezze termodinamiche come l’entropia.

Cos’è lo stato di un sistema.

Probabilità. 

Divagazione. Il logaritmo. Per poter parlare di entropia a livello microscopico abbiamo bisogno di capire alcune proprietà di una funzione matematica elementare, il logaritmo. Per parlare di logaritmo parliamo prima di un’altro oggetto matematico parente del logaritmo, l’esponenziale, che è più intuitivo. Entrambi sono "funzioni", vale a dire delle macchinette matematiche che trasformano un numero (scelto in un insieme appropriato, ma non sempre qualsiasi) in un altro numero. Se io gli dico un numero x, l’esponenziale mi sputa fuori un numero y che si dice essere l’esponenziale di x:

Primi appunti per la tesi, su master equation ed entropia microscopica, in pdf. Sopra, la definizione di entropia microscopica per l’intero sistema isolato, comprendente sia il termine di entropia informativa dovuta all’evoluzione della traiettoria nello spazio delle fasi del sistema, sia un termine di interazione con la sorgente stocastica. Così come è definita l’entropia totale non decresce.

Post aperto per appuntarsi eventuali nuovi elementi imparati in giro relativi all’entropia dell’universo, nel piano complessivo di un tentativo personale di avere una comprensione profonda e variegata del concetto di entropia. Al momento riporto solo il dubbio originario, suggerito durante il corso introduttivo alla Cosmologia da Sabino Matarrese.

1. L’entropia (informativa) dell’Universo è diminuita. L’universo era primordialmente un oggetto elementare, sostanzialmente parametrizzabile con la sola temperatura, totalmente entropizzato. Espandendosi, raffreddandosi ed entrando in gioco le varie famiglie di particelle elementari e le relative interazioni, si è avuto un arricchimento della fisica, e in particolare con la formazione delle strutture cosmiche, sottesa dall’attrazione gravitazionale, si è raggiunta una notevole complessità che ha portato all’attuale stato dell’arte, che è enormemente più ricco e variegato di quanto lo stato iniziale lasciasse intendere. L’informazione è quindi cresciuta, e per contro l’entropia informativa del sistema diminuita. Si potrebbe quindi dedurre che l’entropia dell’universo è diminuita.

2. L’entropia dell’universo non diminuisce. E’ una frase spesso riscontrata che non si riferisce all’Universo ma ad un universo teorico concepito come spazio vuoto in cui vengono immersi i sistemi di interesse. Allora la seconda legge della termodinamica stabilisce senza via di fuga l’ineluttabilità della non diminuzione dell’entropia. Tuttavia la seconda legge della temodinamica si riferisce ad un sistema in equilibrio termico soggetto puramente alla sua evoluzione statistica; condizioni irrealizzate nell’Universo.

3. Entropia lontano dall’equilibrio. L’universo è ben lungi dall’essere un sistema all’equilibrio, oltre all’essere ben lungi dall’essere omogeneo e isotropo. I cosmologi hanno bisogno di utilizzare una termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio, fondata sulla meccanica dei processi stocastici.

4. L’entropia del campo gravitazionale. La soluzione concettuale all’inghippo sta nel fatto che quando si definisce in meccanica statistica l’entropia, non si considera affatto un sistema soggetto a campi esterni o di particelle interagenti. Il campo gravitazionale agisce contro l’entropizzazione del sistema lavorando per formare strutture. Ma lo sfruttamento potenziale gravitazionale ed il livellamento termico tolgono al campo gravitazionale la possibilità di fornire ulteriore informazione strutturale, ed eventualmente quando tutte le interazioni saranno congelate perchè all’equilibrio, e finalmente l’Universo avrà raggiunto un equilibrio "chimico", allora vi sarà un effettiva entropizzazione informativa e l’eventuale morte termica. Sarebbe necessario definire un entropia del campo gravitazionale in modo che l’entropia totale del sistema aumenti sempre, ma pare che non sia possibile, come anche non è possibile definire una conservazione dell’energia totale. Provocatoriamente Matarrese afferma che l’entropia dell’Universo diminuisce e l’energia dell’Universo non si conserva…

5. Entropia ed espansione accelerata. Ci sono numerosi cosmologi che ritengono che la costante cosmologica sia solo un effetto dovuto alle inomogeneità dell’universo, altrimenti dimenticate quando si derivano le equazioni di Friedmann-Robertson-Walker. Facendo calcoli pertubativi è possibile a volte ottenere equazioni del moto per l’Universo con diversi parametri di espansione. Tutti gl approcci sono comunque causalistici. In fisica esiste però sempre la visione finalistica. Ora l’idea balorda. Che non sia possibile affrontare il problema da un punto di vista termodinamico? Ammettiamo che sia possibile definire un’entropia del campo gravitazionale, e che tramite la termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio sia possibile effettivamente valutare l’entropia totale dell’universo, quella informativa più il flusso di entropia-calore dal campo gravitazionale. Allora chissà, che la richiesta di un aumento dell’entropia non vincoli la dinamica dell’Universo ad essere accelerata. Viceversa, si potrebbe mostrare che in un universo in espansione non accelerata l’entropia diminuisce. Sarebbe un risultato clamoroso, perchè indichierebbe che l’espansione accelerata è necessaria per insondabili ragioni dinamiche, senza ingredienti esotici ma puramente per effetti gravitazionali.

I. ENTROPIA  TERMODINAMICA

Energia e Temperatura

Cos’è l’energia - Conservazione dell’energia - Energia meccanica, termica, trasferimento di calore - Bilancio d’energia e prima legge della termodinamica - Temperatura e temperatura assoluta

Sistemi 

Sistemi aperti, chiusi, isolati - Principio di Le Chatelier e analoghi - Sul finalismo in fisica

Entropia

Che cosa misura l’entropia? - Dentro e fuori l’equilibrio - Secondo principio della termodinamica dal principio di Le Chatelier - Dimostrazione banale - Dimostrazione meno banale - Dimostrazione ufficiale a lavoro nullo - Cenni sul lavoro non nullo - Ergodicità - Il frigorifero

II. ENTROPIA MICROSCOPICA 

Sistemi microscopici

Gas di particelle - Grandezze macroscopiche come medie di grandezze microscopiche - Causalismo in fisica

Entropia 

Interpretazione microscopica - Formula macroscopica ritrovata - Seconda legge della TD - Entropia come probabilità

III. ENTROPIA INFORMATIVA

Dalla probabilità all’informazione - Entropia di Shannon - Il mondo come informazione e probabilità - Principio di indeterminazione

IV. VARIE 

Entropia di un sistema teorico vs. entropia del mondo - L’universo è un sistema isolato? - Morte termica dell’universo - Sistemi complessi, vivente,  e produzione di entropia - Principio di massima entropia

- Non hai l’aria condizionata?

- Non c’è.

- Cavolo sto arrostendo. Come resisti tu?

- A me piace l’aria dai finestrini.

- Se si aprono.

- Si aprono, con un po’ di gentilezza. Sei stato troppo vigoroso.

- Per forza, non mi ricordo come si fà. Al mondo rimanete solo tu mia nonna e qualche pastore uzbeco con gli alzacristalli a manovella.

- Io li preferisco.

- Sarà ma non mi sembra un buon motivo per riesumare questo cartoccio. 

- Cos’ha che non va?

- Gli alzacristalli manuali, per esempio. Che si inceppano. E rimani inscatolato in una lattina di monossido e metano. L’aria condizionata, altro esempio. O il radiatore bucato.

- T’ho detto, l’aria condizonata non mi piace. E’ viziata. E umida. E’ insalubre.

- E noi si muore dal caldo.

- Girando più delicatamente non si sarebbe bloccato a mezzavia.

- Non capisco davvero perchè non hai preso una macchina nuova. Ce l’ha ancora il buco nel radiatore questa?

- Non non ce l’ha più, è stato messo a posto.

- Beh almeno non devi fermarti ogni dieci kilometri per rabboccare l’acqua. Sei un mistero, perchè hai speso tutti ’sti soldi per mettere a posto questo scassone? Con gli stessi soldi potevi comprarti una utilitaria nuova.

- Per cantare.

- Come scusa?

- Mi hai chiesto perchè ho messo a posto questa.

- Stai scherzando? Non ce l’avrai ancora con quella storia del suono del motore?

- …

- Dio Santo cos’è che hanno i motori delle auto nuove che non vanno?

- Non mi piacciono. Sono soffocati.

Talento musicale, canta in auto con il motore, l’amico gli dice che ha talento, propone di scrivere un pezzo, lui nicchia. Cantando tampona la tipa e se ne invaghisce, in verità è colpa di lei che si è fatta tamponare ma lui non capisce. Bisogna inventarsi una dinamica del’incidente (bisogna davvero?)

ANAS.

Il nostro amico trova casa in un casotto dell’ANAS. Aiuterebbe conoscere qualcuno che può mostrarcene uno e spiegarci a cosa servono o sono serviti. Si trarferisce prima delle grandi sparizioni. In ultimo sparisce anche lui.

INTERAZIONI.

Tutti hanno a che fare con le vicende giudiziarie della tipa. Amore platonico con il primo.

PRESENZE.

Il tipo in motorino è una tipa, la stessa della fine nella nebbia da vecchia. 

- Signorina…

Prosegue indifferente.

- Signorina!

Accelera visibilmente il passo. Sente il latrato di un cane

- Ehi lei si fermi!

Indugia, si ferma. Il cane le ringhia dietro. Viene raggiunta da due uomini in uniforme..

- Signorina, voglia favorire i documenti.

- Perchè? - Perchè glielo diciamo noi.

- E se non li avessi? Il cane ora abbaia e l’altro, quello più mingherlino, lo deve tranquillizzare.

- Ci dovrà seguire in questura.

- Cos’ho fatto?

- Ancora niente. Allora andiamo in questura? Lei si toglie lo zaino, lo appoggia a terra e dalla tasca superiore estrae un pugno di foglietti stropicciati, scontrini, resti di volantini scarabocchiati, un biglietto del treno e una carta d’identità logora.

Il racconto, se si vuol dire tale, di un mondo futuribile sporco, insano, malato, corrotto, degradato, falso, ipocrita, e di tutte le meschinerie e bassezze e porcherie che lo intasano in un rutilante catalogo che tutto sembra tranne un racconto (alla Kurt Vonnegut). Le metafore continue mascherano in un realistico futuro abominevole quello che è invece la visione ipercritica, complottista e pessimista del mondo reale attuale del misantropo. Nel suo disprezzo verbale si legge il suo amore per l’uomo, e si confonde il suo iperazionalismo per una malattia. Il rigore di pensiero conduce inevitabilmente a questi precipizi, chi se ne astiene è il vero malato, che ha abbracciato un senso irrazionalmente. Nel catalogo compaiono molti esempi di persone malate per via delle loro passioni, che danno un senso alla loro vita, il pianoforte, lo sport, il calcio, la politica…

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Musica Neurale in immagine non coordinata. Istruzioni per la scrittura della partitura, ed un esempio pratico. 6 (o più) esercizi preparatori e Musica Neurale.  Manuale di Immagine non Coordinata. Laboratorio di Musica Neurale.

Il pezzo dura pochi minuti, ma la preparazione al pezzo non consiste nella sua esecuzione, bensì nell’esecuzione degli esercizi preparatori. La stesura della partitura è eseguita dagli esecutori stessi, o dal maestro del coro. La disposizione del coro è a circonferenza, intorno all’ascoltatore, se possibile. Il manuale di istruzioni per la scrittura della partitura indica un logotipo, un’impostazione grafica (semplice), come disporre gli elementi per ogni pagina, come scegliere le note e i tempi dei vari esercizi e i temi di Musica Neurale. Alcune parti scritte sono prestabilite.

Gli esecutori sono disposti in circonferenza stretta (uno a fianco all’altro) intorno all’ascoltatore. Gli ascoltatori sono pochi per volta, quelli che ci stanno. Possono interagire con il coro suggerendo un tema. Il coro risponde cercando di imitare quel tema. Il pezzo si conclude quando tutto il coro canta una stessa cosa.