[Disclaimer: il presente non è un articolo scientifico attendibile; è da intendersi come un esercizio di didattica della fisica]

Ricognizioni indiziarie tra relatività e quantistica /1

Cosa possiamo imparare dalla semplice osservazione che in fisica avvengono i decadimenti?

In primo luogo, un chiarimento sull’oggetto del discorso. Un decadimento è un fenomeno per cui un corpo A si "rompe" spontaneamente e divide in due (o più) corpi B e C. Ora uno può immaginare che l’oggetto di partenza fosse composto dei suoi cocci e di un meccanismo ad orologeria responsabile della frantumazione, per esempio una molla compressa. Per chiarezza di idee invece si intende abitualmente che tutti i corpi che partecipano non abbiano struttura interna: il corpo A non contiene al suo interno i corpi B e C prima del decadimento. Cioè, usando un linguaggio di meccanica classica, tutta l’energia dei corpi è puramente energia di movimento, cinetica (e per esempio non c’è l’energia potenziale della molla). Vedremo che questo modo di pensare, piuttosto controintuitivo, potrà essere effettivamente superato. In futuro parleremo di particelle invece che di corpi.

In secondo luogo, le ipotesi. Supponiamo (I1) che valga la legge di conservazione dell’energia, o meglio che esista una grandezza positiva additiva con le dimensioni fisiche di un’energia che si conserva. E supponiamo (I2) che valga il principio di relatività Galileiano, che le leggi della fisica siano le stesse in diversi sistemi di riferimento inerziali, in moto relativo rettilineo uniforme. Sono principi intuitivi che nessuno si scandalizzerà di accettare. Non assumiamo invece, come si fa per la formulazione della relatività ristretta, che esista una velocità massima consentita per la propagazione di ogni tipo di segnale, concetto tutt’altro che intuitivo. Assumiamo (I3) che i decadimenti siano possibili.

L’energia a riposo

La prima cosa meravigliosa che succede è che possiamo risalire alla formula più tatuata della fisica, anche se non sapremo darle piena interpretazione. Supponiamo di definire l’energia cinetica di una particella che si muove liberamente nello spazio vuoto (sistema di riferimento: LAB) come in meccanica classica

in termini della massa e della velocità della particella. Possiamo cambiare sistema di riferimento imbarcandoci nel sistema inerziale che viaggia con la particella (sistema di riferimento: CM), e la vedremo ferma, con energia nulla. L’energia non è una grandezza invariante per cambiamento di sistemi di riferimento, ma questo non è un problema: basta che le leggi della fisica, e.g. le leggi di conservazione, rimangano le stesse. Ora supponiamo che nel sistema di riferimento in cui essa è in moto (LAB) avvenga un decadimento in due particelle più piccole, che a seguito del decadimento viaggiano in due direzioni diverse. Tornando nuovamente nel centro di massa (CM) vedremo due particelle che si muovono in direzioni opposto (il perchè a dopo), ognuna con un’energia nonnulla

Energia dal nulla? Impossibile! Pertanto in fisica classica i decadimenti non possono avvenire.

Come facciamo a correggere il tiro? Bisogna ridefinire la funzione energia in modo che la particella ferma possegga una certa energia a riposo. Quanto vale questa energia a riposo? Beh essa deve avere le dimensioni fisiche di una massa per una velocità al quadrato. Noi disponiamo solo del primo ingrediente, il secondo non è dato. Siamo forzati ad aggungere un nuovo ingrediente, con la grandezza fisica di una velocità, che non sia una caratteristica cinematica del corpo, ma una costante universale. Chiamiamola c. L’energia a riposo di una particella risulterà

Sembra solo un gioco di parole? Lo è! Nessuno ha ancora detto che c è la velocità della luce, la velocità di propagazione dei segnali, e che nessun corpo può viaggiare più veloce di c. Ma abbiamo solo scoperto questo: (C1) un corpo in quiete ha un’energia a riposo proporzionale alla massa, e (C2) siamo obbligati ad introdurre una nuova costante universale. Scusate se è poco.

Carlos Mejia-Monasterio, dell’Istituto dei Sistemi Complessi, CNR, Firenze, sui teoremi di fluttuazione, il mio pane quotidiano. Poco di nuovo sotto il cielo. Ripercorre le dimostrazioni di Gallavotti-Cohen ed di Evans-Searles con una leggera generalizzazione, che porta alla formula (cerco di riprodurre a memoria):

con abituale significato dei simboli, ove G è un funzionale qualsiasi della traiettoria che può assumere valori in un intervallo piuttosto che nell’intervallo opposto, e la media a secondo termine è condotta con il vincolo che G abbia valori in tale intervallo. Omega è l’entropia totale prodotta lungo una traiettoria. Questa formula è una leggera generalizzazione che restituisce il teorema di fluttuazione nel caso G sia il funzionale entropia stesso. Interessante (ma intuitivo) che l’esponenziale dell’entropia sia il peso statistico universale, per ogni funzione G.

L’altra formula vagamente inedita si ottiene riottenendo il teorema stazionario a partire da quello transiente. In questo caso si sfrutta una partizione dell’intervallo temporale considerato in tre segmenti .

 Non so quanto necessario fosse questo passaggio, però ha il pregio di mettere in luce il tempo di decorrelazione del sistema. Su questo dovrò ragionare un pochino.

Comunque un buon seminario, concluso con un intervento che non ho capito: qualcuno ha ribadito che la termodinamica di non equilibrio è perfettamente risolta e si tratta solo di darle un fondamento microscopico. Ora questo è palesemente falso. La termodinamica macroscopica, d’equilibrio o di non equilibrio, è caratterizzata appunto da osservabili macroscopici su cui lo sperimentatore ha il controllo e che può misurare: potenziali termodinamici all’equilibrio, forze e correnti coniugate lontano dall’equilibrio. L’esatta relazione tra forze e correnti è ben lungi dall’essere compresa e anzi è proprio lo scopo della termodinamica di non-equilibrio chiarirne le correlazioni. Forse quello che intendeva è che leggi di conservazione dell’energia e di bilancio entropico valgono anche nel non-equilibrio. Questo è ovvio, e peraltro non è neanche un fatto propriamente "macroscopico", perchè tali grandezze sono microscopiche, essendo misurate lungo realizzazioni di una singola traiettoria: anzi sono proprio il fondamento della termodinamica microscopica, che diversamente da quanto affermato esiste eccome, e non è da intendersi come termodinamica "locale".

Un tema classico degli esami di dottorato. Ci si aspettava anche qualche esercizio, ma per fortuna è stato solo tema. Della busta scelta era il titolo più appetibile per un teorico tra quattro: esperimento e teoria di una prova delle caratteristiche quantistiche della materia; simmetria-conservazioni; statistiche quantiche ed applicazioni; correlazione a diversi ordini di grandezza. La gente sembrava abbastanza sconvolta, e alla lettura del contenuto delle altre due buste ho notato cenni di disappunto perchè una conteneva il tema che tutti hanno preparato: radiazione e materia.

Comunque, salvo clamorose sviste, lo svolgimento dovrebbe essere decente, anche se è stato faticoso staccare i pensieri dalla laurea per buttarsi nel tema - continuavo a pensare ai teoremi di fluttuazione. Si parte con una panoramica sulle simmetrie dello spazio-tempo in fisica classica (con due esempi dell’applicazione del teorema di Noether), e in relatività ristretta (con un errore dovuto a stanchezza: al boost corrisponde la conservazione della velocità del momento di massa, o l’equivalente esistenza di un sistema di riferimento inerziale in cui al posizione del centro di massa è fisso). Cenno alla simmetria per diffeomorfismi in RG, con conservazione del tensore energia-impulso. Poi si passa alla corrispondenza tra leggi della dinamica e simmetria traslazionale temporale in meccanica quantistica, e forse in maniera un po’ confusa all’identificazione dell’hamiltoniano come generatore della traslazione temporale, con sua conseguente conservazione. Cenno alla struttura proiettiva della MQ per collegarsi alle fasi non fisiche e alle simmetrie di gauge, dove si nota che ad una simmetria oscura sul piano fisico (non locale) discende una conservazione reale, quella delle cariche. Cenno alle altre simmetrie quantistiche, globali e continue, e chiusura con un cenno alle anomalie, con esempio recente tratto da quello che ricordo sui lavori di Wilczek sull’anomalia gravitazionale e radiazione di buco nero.

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Come non detto, la valutazione è bassa. Sicuramente un paio di errori ci sono, e anche poca lucidità espositiva. Forse fuori tema, senza riferimenti sufficienti a prove sperimentali.

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Ho ricostruito il tema arricchendolo e correggendo un paio di errori e di imprecisioni [qui]. A domani.

Quando dopo soli tre minuti il presidente di commissione mi ha fatto notare che il grafico qui sopra è chiaramente sbagliato (la curva adiabatica dovrebbe avere maggior pendenza dell’isoterma, perchè l’espansione adiabatica di un gas lo raffredda, ovviamente) ho momentaneamente tracollato. Ho immaginato la gioia celata dal suo ghigno sporgente, occhi socchiusi dietro spessi occhiali, la bocca un taglio orizzontale, che ricordiamo dal primo giorno di lezione, quando veniva a insegnarci fisica 1 e 2. Il laureando in fisica teorica, che sboroneggia di integrali sui cammini, funzionali e funzioni generatrici, cade come una pera su un banale grafico p-V di gas ideale, roba da termodinamica del primo anno. Un errore da poco, dovuto alla fretta con cui avevo riparato ad un impostazione troppo teorica della presentazione [in una precedente versione, qui] rimodulando il tutto e aggiungendo all’ultimo secondo un esempio pratico [versione definitiva qui]. Comunque, raccolte le idee in due secondi mi sono ripreso e il resto dell’esposizione è filata via in maniera pulita. Un’ultima domanda, di stampo sperimentale, sulla possibilità che le scale nanoscopiche possano essere adeguate per la sperimentazione dei teoremi di fluttuazione; ho risposto nella maniera più sperimentale possibile, senza far notare che non conosco le dimensioni temporali dell’unico esperimento che discutevo nelle mie diapositive.

E’ andata, ora ho l’aurea, quella che circonda San Precario per intenderci.

Tesi di laurea specialistica. Consegnata domani se dio vuole.  Qui il file completo, qui sotto l’introduzione.

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Abbiamo tutti esperienza nella nostra vita quotidiana dell’irreversibilità dei fenomeni che ci circondano. Pur conservando una visione deterministica dei sottostanti fenomeni elementari, l’irreversibilità emerge dalla complessità dei sistemi macroscopici lontani dall’equilibrio termodinamico. Possiamo afferrarne la natura statistica con alcuni semplici esperimenti mentali. Si prenda a modello il classico esempio di un gas confinato in mezza scatola che viene lasciato libero di espandersi nell’altra porzione di scatola. è facile convincersi che il gas tenderà ad occupare l’intero volume e che dovrebbe essere quasi impossibile vederlo nuovamente confinato in una certa porzione di scatola.

Ludwig Boltzmann spiegò all’inizio del secolo scorso come l’irreversibilità di tali fenomeni sia da ricercare nel fatto che il comportamento “mescolante'’ e “disordinato'’ (aggettivi da prendere con precauzione) è quello, e che su base statistica si può confidare che comportamenti più inverosimili siano talmente rari da non potersi praticamente mai verificare nella storia dell’Universo. Quest’argomentazione euristica ha trovato formulazione matematica nel concetto di entropia e nella celebrata seconda legge della termodinamica, incarnata nella teoria di Boltzmann dal Teorema H. Gli argomenti di Boltzmann hanno retto alla prova del tempo, nonostante molte accese dispute siano via via insorte. In effetti il filo logico di Boltzmann è blindato, ma la sua trasposizione matematica è delicata, necessita di precisazioni, e può essere facilmente misinterpretata. Una comprensione profonda del concetto di entropia non può prescindere da considerazioni sul determinismo e sul ruolo dell’osservatore; in particolare quando si prendono in considerazione sistemi isolati si incappa in domande fondamentali irrisolte.

Per questa ragione nel corso della tesi si considereranno sempre sistemi a contatto con un ambiente esterno che "fà il lavoro sporco", nascondendo sotto il tappeto le questioni delicate, e che permette il mantenimento del sistema lontano dall’equilibrio termodinamico. L’ambiente può essere modellato in vari modi dando vita a formalismi diversi: può agire stocasticamente sul sistema facendogli compiere transizioni "a salti", può perturbarlo con un "rumore" dando vita a processi diffusivi, può termostatarlo mantenendo una temperatura esterna o vincolandolo ad una certa energia interna fissa.

I processi fisici di non-equilibrio che andremo a considerare sono inoltre governati dall’azione macroscopica di un’osservatore o sperimentatore, un terzo attore distinto da quello che abbiamo chiamato "ambiente", che agisce sul sistema variando dei parametri secondo un protocollo sperimentale (si consideri l’espansione di un pistone contenente gas), oppure imponendo forze termodinamiche che mantengono il sistema in stati stazionari di non-equilibrio (si pensi alle celle convettive che si formano in una pentola d’acqua scaldata da una fiamma). In risposta a questa azione dall’esterno i gradi di libertà microscopici del sistema evolvono caoticamente disegnando una traiettoria nello spazio delle fasi. Di queste traiettorie è posibile calcolare funzionali con il significato di entropia prodotta lungo il processo e altre grandezze termodinamiche. Se consideriamo più realizzazioni del processo, tali funzionali assumeranno valori mediamente centrati su un valore tipico, ma è in teoria possibile osservare comportamenti atipici, come addirittura l’assorbimento di entropia dall’ambiente, in apparente contraddizione con la seconda legge. I comportamenti inverosimili sono rari. Ma quanto rari? Se il sistema è piccolo, purché sia sufficientemente grande da poter separare i suoi gradi di libertà da quelli dell’ambiente, la probabilità di osservare deviazioni consistenti dal comportamento tipico può diventare significativa. La matematica che studia le code nelle distribuzioni di probabilità dei processi stocastici è la matematica dei principi di deviazione grande. L’applicazione di queste tecniche alla fisica dei sistemi di non-equilibrio produce precisamente i teoremi di fluttuazione. La tipica forma matematica assunta da un tale teorema è

ove è la probabilità che un certo processo si sia svolto immettendo nell’ambiente una quantità di entropia $\omega$. Relazioni di questo tipo sono il Teorema di Crooks e il Teorema di Evans-Searles, e vengono detti transienti in quanto il processo compie una transizione tra stati estremali diversi. Essi non danno informazioni su quale sia la produzione di entropia tipica, ma mostrano che la probabilità di una produzione negativa di entropia è fortemente soppressa rispetto ad una produzione positiva. Altre simili relazioni, dette Teoremi di Fluttuazione Stazionari, come la simmetria di Gallavotti-Cohen, valgono per la produzione di entropia in uno stato stazionario di non-equilibrio. Un’altra categoria sono i Teoremi di Fluttuazione Integrali, che si ottengono per esempio mediando nella formula sopra rispetto a tutti i valori che l’entropia può assumere

Per la disuguaglianza di Jensen, essendo funzione convessa di , si ha

e pertanto , che è il secondo principio della termodinamica, nella sua corretta interpretazione statistica. Siccome l’entropia è una grandezza approssimativamente estensiva, è chiaro come per sistemi via via più grandi risultino sempre più dominanti le traiettorie che producono entropia positiva.

Diamo un esempio fisico emblematico di teorema di fluttuazione integrale, per chiarire in che senso questi risultati ampliano la nostra conoscenza dei sistemi lontani dall’equilibrio. Si consideri la compressione di un pistone contenente gas inizialmente all’equilibrio. Se la compressione è infinitamente lenta, quindi isoterma, il gas si porta via via in stati di equilibrio in maniera reversibile. La termodinamica classica ci dice che non vi è dissipazione di lavoro, nel senso che tutto il lavoro esercitato sul sistema è riutilizzabile dal sistema stesso, e pertanto l’incremento in energia libera di Helmohltz, che ha il significato di lavoro reversibile, coincide con il lavoro totale: . Cosa succede invece se la compressione avviene in un tempo finito? Il sistema si porterà via via in stati di non-equilibrio, e la sua tendenza ad equilibrarsi sarà incalzata dalla variazione del volume. In tal caso il lavoro dissipato non è nullo, ed in generale dipenderà dalla particolare traiettoria nello spazio delle fasi che i gradi di libertà del gas hanno effettuato. Consideriamo la distribuzione statistica del lavoro che è necessario compiere dall’esterno per poter immagazzinare un quantitativo di lavoro reversibile . Non ne conosciamo l’espressione esplicita, ma sappiamo che obbedisce al seguente teorema di fluttuazione integrale

detto identità di Jarzynski. Il risultato è consistente con il caso particolare di cui sopra, e con un altro caso particolare, quello in cui la compressione sia istantanea, quindi adiabatica, come vedremo in seguito. La peculiarità delle relazioni di fluttuazione risiede nel fatto che esse valgono arbitrariamente lontano dall’equilibrio termodinamico, rappresentato dalle traiettorie che producono entropia nulla.

Accenniamo ad un altro aspetto importante dei teoremi di fluttuazione. Siccome la produzione di entropia lungo una traiettoria è definita dispari per inversione temporale, il teorema di fluttuazione confronta le probabilità di due classi di traiettorie, una che procede in una direzione temporale e l’altra nella direzione opposta. La relazione di Crooks misura quindi, in un certo senso, l’ammontare della rottura dell’invarianza temporale, e quindi è una misura dell’irreversibilità di un processo. I teoremi di fluttuazione sono tra i pochi risultati esatti di meccanica statistica lontano dall’equilibrio, e hanno quindi costituito un enorme passo avanti concettuale in questo campo di ricerca, complesso per definizione. Vicino all’equilibrio essi permettono di ricavare i risultati classici di termodinamica nel regime lineare, come il teorema di fluttuazione-dissipazione, le relazioni di Onsager e di Green-Kubo.

Una tabella dei mesoni fatta in casa, per ricordare la composizione dei quark di valenza.

Lo studente non ama le particelle. Sono troppe, con troppe proprietà che si conservano o talvolta no, e portano nomi scemi che finiscono tutti in -one (bosoni e fermioni, adroni e leptoni, fotoni, gluoni, barioni e mesoni, elettroni e positroni, muoni, neutrini, neutroni, protoni, pioni, kaoni…). Pensa che sia una fortuna che Murray Gell-Mann si sia arrogato il diritto di battezzare le particelle più fondamentali e affascinanti con un nome di fantasia, i quark, da una parola inventata da Joyce nel Finnegan’s wake, romanzo in polilingua inventata, di cui egli lesse con gran fatica la prima pagina per la mia tesina di maturità, che rimane ancora il suo lavoro più bello e originale. Come per la chimica, lo studente  si prepara imparando regole di combinazione di cui non solo perchè ha già studiato altri esami, e si è tenuto questo per ultimo, conosce l’origine. Altrimenti dovrebbe accettarle come un ingrediente un po’ sciamanico. Per fortuna all’esame non gli viene richiesta l’esposizione mnemonica della tavola periodica delle particelle, ma di ragionare intorno ad alcuni esperimenti.

In particolare, si prenda in considerazione un esperimento di collisione di elettrone-positrone. Il positrone è l’antiparticella dell’elettrone, e come tutti sanno l’antimateria annichilisce la materia (eppure la gente pensa ancora che l’esistenza dell’antimateria sia un fatto controverso e misterioso! Per un fisico, è un dato di fatto da almeno 70 anni). La coppia di particelle si annichila in uno stato puramente quantistico, una specie di vuoto eccitato con le proprietà di un fotone, la particella che media l’interazione elettromagnetica. Questo fotone non è reale, non vive di vita propria come vivono di vita propria i fotoni delle onde elettromagnetiche*, perchè da un urto inelastico elettrone-positrone per semplice conservazione dell’energia e della quantità di moto non può uscire una particella di massa nulla (non sarebbe conservata la quantità di moto nel centro di massa). Questa violazione delle leggi più fondamentali della fisica può avvenire solo per un tempo sufficientemente breve, quanto permesso dal principio di indeterminazione di Heisenberg (in forma energia-tempo)

ove h è la costante di Planck. Passato questo breve lasso di tempo, il fotone deve materializzarsi in una configurazione finale che sia compatibili con le leggi di conservazione, rispetto all’urto iniziale, una nuova coppia di particella-antiparticella, che viaggiano in direzione opposta (rispetto al riferimento del centro di massa) e quindi non si annichilano tra loro, ma proseguono per stade differenti. Per esempio, questa può essere una coppia di quark-antiquark. Ma attenzione! I quark non esistono per conto loro, esistono solo confinati entro particelle più grandi (gli adroni) che possono contenere tre quark (i barioni), oppure un quark e un antiquark (i mesoni). Pertanto appena creati essi emettono un gluone, una particella senza massa che è il mediatore dell’interazione forte, interazione che coinvolge solamente quark e gluoni e che è responsabile del legame tra i protoni e neutroni nel nucleo. Il gluone è emesso immediatamente: infatti l’interazione si dice "forte" poprio perchè è molto alta la probabilità di emissione dei gluoni, di dieci volte più alta che la probabilità di emissione dei fotoni. Questi gluoni si manifestano nuovamente in coppie di quark-antiquark, che emettendo nuovi gluoni generano una pioggia di quark che si combinano tra loro manifestandosi negli barioni e nei mesoni. Per cui un urto elettrone e positrone, se si realizza in quark, genera due jets di adroni.

Teorema di Bayes ed inferenza bayesiana. Paragrafo introduttivo del capitolo 1. Con discussione della querelle frequentisti vs. bayesiani ed una presa di posizione netta.

Questo è un sito di parte. Innanzitutto parteggio per classicthesis, l’elegantissimo pacchetto di latex che mi ha permesso di scrivere queste note. E poi parteggio per l’entropia di Gibbs, perchè dopotutto rimango filosofo dentro, e non posso che chiedermi che cosa ne sarà di questo stanco universo. Cerco di riassumere in poche parole. L’entropia dell’Universo aumenta. Vabbè. Ma quale entropia? Quella di Gibbs, che misura l’informazione totale e la tendenza di un sistema a raggiungere l’equilibrio statistico, no (se si conserva l’energia e supponiamo un universo deterministico). Quella di Boltzmann, che individua la freccia del tempo e caratterizza la degradazione dell’energia, si, ma solo se esiste un osservatore che la definisce. Paradosso? Lo stesso avviene in meccanica quantistica, che non è meno deterministica di quella classica in assenza di osservatori. La riduzione dello stato quantistico presuppone infatti che esista un’analoga riduzione dello stato classico da qualche parte nell’universo, un osservatore che misura. E la riduzione dello stato classico presuppone che esista qualcosa di quantistico da qualche parte nell’universo di intrinsecamente stocastico. E se non esistesse un tale dualismo? E se la "funzione d’onda dell’universo" non potesse collassare? E se l’informazione non potesse diminuire? E chissenefrega allora  che la quantistica sia la quantistica o sia sottesa dalla fisica classica, tanto sono uguali, hanno gli stessi problemi. Certo, a livello intermedio Boltzmann spiega tutto, i sistemi si giustificano tra di loro, si spiegano tra di loro, si misurano tra di loro, si definiscono tra di loro. Tanto questa dannata freccia del tempo non c’è. Se qualcuno ti dice: "verso ovest è dove va la discesa. Quella mulattiera sale o scende?" lo prendi per pazzo. Ma non è pazzo, e solo ragionevole. Mi viene una gran voglia di studiare di tutto, dalle teorie di decoerenza a GWZ a gravità quantistica…

A meno che noi, e dico noi esseri umani, siamo diversi, non apparteniamo a questo universo, e allora le cose si complicano… troppo per i miei gusti, non sono portato per la teologia delle stringhe.

Enjoy.

Finalmente si torna a scrivere di esami. La madonna rappresenta il mio stato estatico al termine, e la domanda finale:

Perchè le madonnine di Lourdes brillano di notte?

La risposta, è ovvio, è: perchè sono fosforescenti. Ma cosa fuol dire fosforescenza?

Quando la materia è illuminata dalla luce ordinaria, bianca, e quindi che "contiene tutti i colori" (ovverosia ha uno spettro continuo largo omogeneo) gli atomi si "eccitano", ovverosia gli elettroni degli atomi acquistano energia cinetica e vanno a occupare orbitali con più grandi "numeri quantici" (dalla chimica dovremmo sapere che gli elettroni stanno attorno agli atomi in configurazioni, dette orbitali, quantizzate). Quando si spegne la luce, in una frazione di una frazione di secondo gli elettroni dagli stati eccitati tornano agli stati più bassi, rilasciando a loro volta luce, secondo uno spettro discreto (cioè di solo un certo numero di colori). Il fatto però è che il processo di diseccitazione è rapidissimo, mentre per i materiali fluorescenti ci deve essere un meccanismo che ritarda la diseccitazione, portando il sistema ad uno stato metastabile (ovverosia, non di energia minima in assoluto, ma di un minimo di energia "locale") che ha lunghi tempi di diseccitazione. Ora simili contrapposizioni tra pocessi lenti e veloci si hanno nelle molecole (più di un nucleo), dove l’approssimazione di Born-Oppenheimer è giustificata proprio dal fatto che i modi vibrazionali e rotazionali della molecola sono più "lenti" dei modi energetici degli elettroni. Per costruire uno stato metastabile si fa così: consideriamo una molecola inizialmente nel ground state, che è uno stato in cui lo spin totale è nullo (singoletto). Si eccitano gli elettroni con la luce; conseguentemente i nuclei della molecola risentono di un potenziale più debole, ed in teoria dovrebbero allontanarsi. In pratica essendo il fenomeno veloce, la molecola non ha tempo di allargarsi e l’aumento di energia si scarica sui moti vibrazionali. Dopodichè i nuclei possono finalmente allontanarsi. Diseccitandosi, i modi vibrazionali possono portare in uno stato di tripletto, ovvero spin uno, scambiando il momento angolare intrinseco con altre molecole con cui collide. Ora si diseccitano gli elettroni, e nuovamente la molecola potrebbe tornare alle dimensioni iniziali ma… non può più farlo perchè il ground state non ha il tripletto, e la transizione è molto improbabile, quindi molto lenta. Chiaro no?

(Questa formula non è l’enunciato del teorema, è semplicemente la formula più graficamente appealing)

Che senso ha dimostrare un teorema già dimostrato più di cent’anni fa, caposaldo della rappresentazione per grafi dei processi stocastici. Nessuno temo, salvo perdere un po’ di tempo illudendosi di aver prodotto qualcosa di diverso e personale.

Il teorema permette di esprimere una distribuzione stazionaria in termini di un conteggio degli alberi orientati di un grafo rappresentativo del sistema. Questa dimostrazione si basa puramente su considerazioni grafiche, ed è autosufficiente. Solitamente questo teorema è dimostrato tramite l’utilizzo della matrice Laplaciana, matrice che si costruisce mettendo il grado dei vertici numerati sulla diagonale, mettendo uno 0 nel posto ij se non c’è uno spigolo tra il vertice i e il vertice j, e mettendo -1 se c’è uno spigolo. Non so della versione orientata (cioè con spigoli orientati) di questa matrice.  Il numero di alberi è dato dal prodotto degli autovalori di un qualsiasi minore massimale della matrice.

Capitolo due è allestito, introdotto dall’invitation#2 dedicata all’analisi degli articoli di G. Crooks [8] Nonequilibrium Measurements of Free Energy Differences fon Microscopically Reversible Markovian Systems, J. Stat. Phys. 90, 1481 (1998) ed [9] Entropy Production Fluctuation Theorem and the Nonequilibrium Work Relation for Free Energy Differences, Phys. Rev. E 60, 2721 (1999).

Lettura di Udo Seifert, Entropy production along a stochastic trajectory and an integral fluctuation theorem, e di Ken Sekimoto, Langevin Equation and Thermodynamics, con annessi appunti. Sono articoli semplici ma di fondamentale importanza per porre le basi di una termodinamica microscopica. Sekimoto nella sua introduzione afferma che tra i tre livelli possibili di descrizione dei fenomeni statistici (Hamiltoniano deterministico microscopico / mesoscopico stocastico / termodinamico, ordinati per successiva cancellazione di dettagli deterministici) esistono relazioni (meccanica statistica <-> termodinamica, meccanica statistica <-> processi stocastici tramite il formalismo di Zwanzig-Mori, da cercare) e questo articolo colma l’ultimo vuoto lasciato nell’interpretazione di grandezze termodinamiche a livello microscopico. In verità Sekimoto con fatica minima si riduce ad esporre una versione microscopica per la prima legge della termodinamica per l’equazione di Langevin, e a derivare la seconda legge per medie di ensemble. Molto più interessante il lavoro di Seifert, che definisce un’entropia microscopica per processi di Langevin e per master equations.

Lettura e appunti dal Handbook of Stochastical Methods di Gardiner. E’ molto illuminante scoprire come la semplice richiesta di Markovianità di un processo stocastico vincoli l’evoluzione temporale della proabilità condizionata in maniera così chiara e concisa. L’equazione di Chapman-Kolmogorov per le probabilità condizionate p = p(x|y), troncata al second’ordine nell’espansione di Kramers-Moyal, contiene tre termini: un termine di drift che preso singolarmente fornisce semplicemente l’equazione di Liouville:

e cattura quindi il moto deterministico in un campo A; un termine di diffusione, che fornisce le fluttuazioni continue attorno alla traiettoria deterministica. Questi due termini, che garantiscono la continuità della traiettoria, insieme formano l’equazione di Fokker-Planck:

Per tempi brevi partendo dalle condizioni iniziali opportune questa fornisce un processo gaussiano, quindi continuo, che lentamente si allarga a partire dalla delta iniziale. L’ultimo termine contiene l’informazione sui salti discontinui, detti jump processes; nel caso in cui lo spazio delle fasi sia discreto non esiste ovviamente la possibilità di traiettorie continue, per cui l’equazione di Chapman-Kolmogorov si riduce alla master equation:

L’altro filone di letture che piacerebbe continuare a portare avanti è quella sugli assiomi della meccanica quantistica, ed in particolare il principio di equivalenza proposto da Faraggi e Matone. In particolare due spunti potrebbero essere interessanti:

1 - Vedere se e come c’è overlap tra l’approccio tramite principio di equivalenza e la proposta di Lucien Hardy di derivare la meccanica quantistica da cinque semplici assiomi, quattro dei quali sufficienti per descrivere la teoria delle probabilità. Il quinto assioma è un assioma di esistenza di una trasformazione continua tra gli stati di un sistema quantistico finito dimensionale - mentre l’approccio di Faraggi-Matone prevede l’esistenza di una trasformazione invertibile tra stati, ma in un setting completamente diverso.

2 - Vedere se e come è possibile ripristinare lo spin e la sua quantizzazione, vedendo per esempio che conseguenze ha l’EP sul momento angolare orbitale p X q. Anche se ovviamente il momento angolare orbitale non è l’analogo classico dello spin, o del momento angolare totale, pure l’approccio EP ci ha abituati a discernere quello che è p all’interno della teoria e quello che il momento classico. in particolare non esistendo un isomorfismo canonico tra tangente e cotangente non è possibile parlare di velocità, ne di equazioni del moto, ma solo di trasformazioni canoniche. il p della teoria pur essendo formalmente analogo al momento non ha un significato fisico, come d’altra parte l’azione quantistica S(q), che non corrisponde all’azione semiclassica che si trova in approssimazione WKB, ma è anzi definita in maniera tale che l’equazione d’onda sia effettivamente exp iS(q). non stupirebbe quindi di scoprire che queste entità matematiche, che estendono quantisticamente le nozioni classiche, possano contenere di più del loro analogo - per esempio nel caso di p X q, chissà che passando poi al formalismo quantistico non salti veramente fuori lo spin.

La formula dell’entropia inscritta sulla lapide di L. Boltzmann secondo il suo volere.

Abbiamo parlato di sistemi, aperti, chiusi o isolati, senza mai entrare nel dettaglio di come sia composto o di cosa succeda dentro il sistema. Parallelamente a questo approccio "dall’alto", macroscopico, si può cercare di partire dai singoli componenti del sistema e di cercare di dare un’interpretazione microscopica delle grandezze termodinamiche come l’entropia.

Cos’è lo stato di un sistema.

Probabilità. 

Divagazione. Il logaritmo. Per poter parlare di entropia a livello microscopico abbiamo bisogno di capire alcune proprietà di una funzione matematica elementare, il logaritmo. Per parlare di logaritmo parliamo prima di un’altro oggetto matematico parente del logaritmo, l’esponenziale, che è più intuitivo. Entrambi sono "funzioni", vale a dire delle macchinette matematiche che trasformano un numero (scelto in un insieme appropriato, ma non sempre qualsiasi) in un altro numero. Se io gli dico un numero x, l’esponenziale mi sputa fuori un numero y che si dice essere l’esponenziale di x:

Primi appunti per la tesi, su master equation ed entropia microscopica, in pdf. Sopra, la definizione di entropia microscopica per l’intero sistema isolato, comprendente sia il termine di entropia informativa dovuta all’evoluzione della traiettoria nello spazio delle fasi del sistema, sia un termine di interazione con la sorgente stocastica. Così come è definita l’entropia totale non decresce.

Post aperto per appuntarsi eventuali nuovi elementi imparati in giro relativi all’entropia dell’universo, nel piano complessivo di un tentativo personale di avere una comprensione profonda e variegata del concetto di entropia. Al momento riporto solo il dubbio originario, suggerito durante il corso introduttivo alla Cosmologia da Sabino Matarrese.

1. L’entropia (informativa) dell’Universo è diminuita. L’universo era primordialmente un oggetto elementare, sostanzialmente parametrizzabile con la sola temperatura, totalmente entropizzato. Espandendosi, raffreddandosi ed entrando in gioco le varie famiglie di particelle elementari e le relative interazioni, si è avuto un arricchimento della fisica, e in particolare con la formazione delle strutture cosmiche, sottesa dall’attrazione gravitazionale, si è raggiunta una notevole complessità che ha portato all’attuale stato dell’arte, che è enormemente più ricco e variegato di quanto lo stato iniziale lasciasse intendere. L’informazione è quindi cresciuta, e per contro l’entropia informativa del sistema diminuita. Si potrebbe quindi dedurre che l’entropia dell’universo è diminuita.

2. L’entropia dell’universo non diminuisce. E’ una frase spesso riscontrata che non si riferisce all’Universo ma ad un universo teorico concepito come spazio vuoto in cui vengono immersi i sistemi di interesse. Allora la seconda legge della termodinamica stabilisce senza via di fuga l’ineluttabilità della non diminuzione dell’entropia. Tuttavia la seconda legge della temodinamica si riferisce ad un sistema in equilibrio termico soggetto puramente alla sua evoluzione statistica; condizioni irrealizzate nell’Universo.

3. Entropia lontano dall’equilibrio. L’universo è ben lungi dall’essere un sistema all’equilibrio, oltre all’essere ben lungi dall’essere omogeneo e isotropo. I cosmologi hanno bisogno di utilizzare una termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio, fondata sulla meccanica dei processi stocastici.

4. L’entropia del campo gravitazionale. La soluzione concettuale all’inghippo sta nel fatto che quando si definisce in meccanica statistica l’entropia, non si considera affatto un sistema soggetto a campi esterni o di particelle interagenti. Il campo gravitazionale agisce contro l’entropizzazione del sistema lavorando per formare strutture. Ma lo sfruttamento potenziale gravitazionale ed il livellamento termico tolgono al campo gravitazionale la possibilità di fornire ulteriore informazione strutturale, ed eventualmente quando tutte le interazioni saranno congelate perchè all’equilibrio, e finalmente l’Universo avrà raggiunto un equilibrio "chimico", allora vi sarà un effettiva entropizzazione informativa e l’eventuale morte termica. Sarebbe necessario definire un entropia del campo gravitazionale in modo che l’entropia totale del sistema aumenti sempre, ma pare che non sia possibile, come anche non è possibile definire una conservazione dell’energia totale. Provocatoriamente Matarrese afferma che l’entropia dell’Universo diminuisce e l’energia dell’Universo non si conserva…

5. Entropia ed espansione accelerata. Ci sono numerosi cosmologi che ritengono che la costante cosmologica sia solo un effetto dovuto alle inomogeneità dell’universo, altrimenti dimenticate quando si derivano le equazioni di Friedmann-Robertson-Walker. Facendo calcoli pertubativi è possibile a volte ottenere equazioni del moto per l’Universo con diversi parametri di espansione. Tutti gl approcci sono comunque causalistici. In fisica esiste però sempre la visione finalistica. Ora l’idea balorda. Che non sia possibile affrontare il problema da un punto di vista termodinamico? Ammettiamo che sia possibile definire un’entropia del campo gravitazionale, e che tramite la termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio sia possibile effettivamente valutare l’entropia totale dell’universo, quella informativa più il flusso di entropia-calore dal campo gravitazionale. Allora chissà, che la richiesta di un aumento dell’entropia non vincoli la dinamica dell’Universo ad essere accelerata. Viceversa, si potrebbe mostrare che in un universo in espansione non accelerata l’entropia diminuisce. Sarebbe un risultato clamoroso, perchè indichierebbe che l’espansione accelerata è necessaria per insondabili ragioni dinamiche, senza ingredienti esotici ma puramente per effetti gravitazionali.

Neanche selezionato per la pubblicazione, che delusione. Almeno posso pubblicarlo. Qui in pdf. Nella foto sopra Dirac alla lavagna. Una foto in posa, lui piuttosto in disagio, alla lavagna abbozzate la molecola di idrogeno ed il grafico con gli stati elettronici di legame (stati di singoletto) e di antilegame (stati di tripletto).

I. ENTROPIA  TERMODINAMICA

Energia e Temperatura

Cos’è l’energia - Conservazione dell’energia - Energia meccanica, termica, trasferimento di calore - Bilancio d’energia e prima legge della termodinamica - Temperatura e temperatura assoluta

Sistemi 

Sistemi aperti, chiusi, isolati - Principio di Le Chatelier e analoghi - Sul finalismo in fisica

Entropia

Che cosa misura l’entropia? - Dentro e fuori l’equilibrio - Secondo principio della termodinamica dal principio di Le Chatelier - Dimostrazione banale - Dimostrazione meno banale - Dimostrazione ufficiale a lavoro nullo - Cenni sul lavoro non nullo - Ergodicità - Il frigorifero

II. ENTROPIA MICROSCOPICA 

Sistemi microscopici

Gas di particelle - Grandezze macroscopiche come medie di grandezze microscopiche - Causalismo in fisica

Entropia 

Interpretazione microscopica - Formula macroscopica ritrovata - Seconda legge della TD - Entropia come probabilità

III. ENTROPIA INFORMATIVA

Dalla probabilità all’informazione - Entropia di Shannon - Il mondo come informazione e probabilità - Principio di indeterminazione

IV. VARIE 

Entropia di un sistema teorico vs. entropia del mondo - L’universo è un sistema isolato? - Morte termica dell’universo - Sistemi complessi, vivente,  e produzione di entropia - Principio di massima entropia

Fisica teorica, ossia formulazione della meccanica quantistica attraverso l’analisi delle simmetrie. In particolare teorema di Wigner, rappresentazioni vettoriali e proiettive, simmetria dinamica dell’atomo di idrogeno, vettore di Runge-Lenz, spettro dell’hamiltoniano e degenerazioni.

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