In their paper Comment on ”Irreversibility and Fluctuation Theorem in Stationary Time Series” C. Van den Broeck and B. Cleuren notice that the FT holds for the functional

where x denotes any random variable or stocastic process, which might be for example a Markov chain or a classical trajectory, and T is any involutory functional over such trajectories. Then the FT follows in a very straightforward way by integrating \exp \sigma(x) over all x’s that yeald a given value of \sigma(x), by simply making a change in variable x \to Tx with the absolute value of the determinant being 1. One gets

They observe that this makes the FTs much weaker from a physical point of view. This impression is shared by the author of this post. The great (even greater now) generality of these results make it a nice conceptual framework, but they hardly could serve as a means for deeper understanding. It is rather significative, for example, that they are already contained in the Girsanov and Feynman-Kac formulae of stocastica analysis as very special cases.

However, I cannot think of any relevant involution regarding stocastic processes other than time inversion, but have to make some thinking about it. It might be useful to explore spatial symmetries in some peculiar system, so that the theorem could be a useful tool to understand, for example, symmetry breaking. The fact that the demonstration is rather straightforward was very well known, being the papers by Jarzynski and Crooks rather elementary. What is not obvious at all is the thermodynamical interpretation of the functionals at work in the various setups, expecially the network theory one by Gaspard et al.

(more…)

2.5/4

A ridosso dell’uscita del collossal Australia, che sicuramente non vedremo ma potremmo già commentare, ci dedichiamo alla filmografia australiana (soprattutto qui e qui). Un film giovane, per studenti invecchiati come noi, anarchico, scanzonato, pieno di personaggi strampalati e divertenti, con parecchia simbologia giovanile, quei piccoli gesti e momenti vitali che sembrano segnare l’esistenza e che ora riguardiamo (noi, non voi) con adulto distacco. Ma in fondo Schopenauer e Leopardi avevano quell’età e l’hanno ancora, siamo noi che stiamo andando fuori tempo massimo. Non c’è molto altro da dire, guardatelo, ma senza troppi rimpianti.

 

Ricetta bergamasca. Le quaglie hanno un sapore forte (da morte crude puzzano parecchio), e il loro sugo si stempera bene nella polenta morbida. Questa è una ricetta che fa una certa impressione a tavola ma costa poco, sia in termini di denaro che di impegno. La polenta si può fare istantanea, o avendo più pazienza con la farina di mais (magari biologica). La formazione di grumi è una questione annosa che io ho dirimuto* usando il frullatore ad immersione. Le interiora delle quaglie si devono sostituire con erbette (salvia e rosmarino) per igienizzare (sconsigliato il dentifricio). Eventualmente steccare con della pancetta arrotolata. Rosolare in burro ed olio, poi lasciar evaporare un bicchiere di vino bianco ed aggiungere un po’ di brodo, abbassare il fuoco e cuocere per un’oretta. Non invitare a cena persone che non amano sporcarsi le mani.

* Colgo l’occasione per dirimere una questione: scopro qui che dirimere è un verbo difettivo, che manca del participio passato. Quale migliore occasione per assegnargliene uno.

 2.5/4

Gondry è uno dei nostri preferiti, ma non a pieno titolo perché la sua parabola è abbastanza discendente (in ordine di visione): Se mi lasci ti cancello stupendo, L’arte del sogno bello e coinvolgente, Human Nature bruttino ancorchè strampalato. Questo è divertente, anche se la storia che viene cucita attorno è del tutto insignificante e anzi quasi fastidiosa nel suo essere buonista e pretestuosa. Ma i film maroccati valgono la visione, soprattutto Ghostbusters è da sbellicarsi.

 

La farina di grano saraceno è difficile da trovare sotto il Po. L’ho trovata ad un supermercato di prodotti biologici, dove hanno tutti i tipi di farine del mondo. Per l’impasto 300 gr. di saraceno e 200 gr. di bianca 00, con acqua q.b. (uno-due bicchieri). Viene una pasta molto malleabile ma compatta, che si lavora facilmente al mattarello. Non usare la macchinetta. Io non ho badato troppo alla regolarità dei pezzi, in pratica ho fatto dei maltagliati, piuttosto spessi.

 

 

Per il condimento. Io ho cotto le verdure separatamente, c’è chi lessa tutto insieme insieme alla pasta. Verza e spinaci freschi, oppure bietola, appassiti in soffritto di cipolla, patate lesse a dadini, formaggio a dadini, saporito e filante. Meglio la fontina, noi abbiamo usato il Campitello della Val di Fassa. Condire con burro e salvia abbondanti. Piatto unico ovviamente.

[What follows is not scientifically rigorous; it’s just the author’s personal opinion, not necessarily well-informed]

Paper by R. Kawai, J. M. R. Parrondo, and C. Van den Broeck, published in PRL 2007. They obtain a simple new result about the thermodynamics of far-from-equilibrium systems with the usual Jarzynski statistical-mechanical techniques.

Preliminaries

In an irreversible process the dissipated work is given by

and has the meaning of amount of work done on the system that does not directly contribute to a change in the macroscopic state-function, the thermodynamical potential useful for later transformations. This is why it is "dissipated". The authors make the assumption that the system be initially in contact with a bath at temperature T so that the initial microstates can be picked up from a canonical distribution

   (1)

They further assume that the bath is then removed and the system is mantained in isolation, so that the only energy exchange with the environment is through the work performed, and the first law of (microscopic) thermodynamics* assures that all the work done is gained in the form of internal energy:

This also implies that there is no phase-space contraction and therefore that Lioville theorem holds along a trajectory

where we used the notation z = (q,p) as the collective vector of positions and momenta.** The physical meaning is simply determinism and conservation of information: if a given initial condition is picked up with probability \rho than its evolute at time t still has probability \rho to show up. Owing to the fact that there is no heat exchange (or, better, that the heat flux is known) we do not loose information about the system.

We also consider an inverse process, starting with the final energy and performing the inverse transformation, pulling out work from the system and lowering its internal energy to the initial value. The initial state of this inverse process is also sampled from a canonical distribution \rho_B, meaning that the system is re-chilled to temperature T before going back. Esponentiating (1) yealds

and if one averages above all the trajectories one obtains Jarzynski equality:

More interestingly, one has (setting \beta=1)

    (2)

Average dissipated work is the relative entropy between the two distributions \rho_A and \rho_B, a measure of how much they differ. It is always positive (Gibbs’s inequality). This is a very nice relationship but really adds little to what previously known, as it also makes its appearance in a (badly written) section of the wikipedia article about Kullback-Leibler divergence.

* The first law IS microscopic; it is the second law that has both macroscopic and microscopic interpretations.

** Remember that

and that dz = dz(t) by phase-space volume conservation.

The new result

Now let’s follow one single trajectory from the initial state to the final one and back. Due to phase-space volume conservation we have

where we have assumed that the hamiltonian is time-reversible, that is even under inversion of momenta. Substituting into (2) one gets

where the \dagger means time inversion. This is eq. (5) in the paper, with the only difference that we are expliciting time dependence of the densities. Here the paper is unclear about what it is being integrated over, I get confused about whether the argument of the densities are state variables or trajectories. But one can of course perform a change in the integration variables and gets

Because of hamiltonian dynamics the jacobian determinant is 1 and we obtain the desired result

    (3)

where we have made use of the Kullback-Leibler notation.

Coarse graining

An important property of relative entropy is that it decreases upon coarse graining. Let’s consider a partition of the state space in cells \omega_i and define the coarse-grained densities:

Relative entropy is given by

The article displays a straighforward demonstration of this fact. Calling W = \ln \rho/\mu one has

Now \exp -W is a convex function and therefore by Jensen’s inequality one has

Summing over j yealds the relative entropy in the LHS and the coarse-grained relative entropy in the RHS. If one has limited knowledge of the probability distributions over the state space, one still  can get a lower bound on dissipated work. In any case this result refines the second law of thermodynamics. Examples follow in the article.

Discussion and considerations

The nice thing is that (3) compares the forward and backward distributions at the same arbitrary time: in fact such distributions encode all the information we need from a full trajectory, which is splitted into two contributions one of which is reinterpreted as backward. Theoretically one could determine the average dissipated work just by measuring the phase space distributions for forward and backward trajectories. This does not really add a powerful tool, since all we needed in (2) was just knowledge of the initial and final distributions (that is, the energy function).

In any case, dissipation is put in relation with a measure of time-symmetry breaking, as is usually done in such articles. We usually expressed heat in terms of probabilities of forward over backward paths (path-dependent). Here we have dissipated work in terms of the state of the forward and backward path at agiven time (state-dependent).

The problem is that the result works in a very limited situation, that of adiabatic processes, for which exact dissipated work is very easily calculated. Jarzynski’s equality instead holds in greater generality also in the case of an heat flux. Can we think of a more general result? Otherwise we might be absording heat flux into the definition of work. Is this a satisfactory modelization of a physical system or a rather peculiar one? Moreover, can we always do that? What kind of renormalization/coarse graining procedure can we think of to transform the microscopic radom heat flux into a macroscopic deterministic work.

 

 

 

Cena di inizio lavori. Appetizer a base di crema di zucca. Primo: ancora zucca, sempre rigorosamente mantovana: credetemi, è un’altra cosa. Gnocchi, qui ribattezzati fiocchi, di zucca. Nascono deformi, storpi, filanti, leggeri, e per questo non meritano l’appellativo di gnocco, che vuol dire sodo, convesso, compatto. Impasto a base di polpa di zucca al forno (o al microonde) - assolutamente la zucca non va lessata o fatta al vapore, perchè assorbe troppa acqua e poi bisogna aggiungere farina fino a rendere gli gnocchi troppo gnocchi. Ogni 500 gr. di zucca 150 gr. di farina, un uovo, un cucchiaio di olio, un pizzico di sale, formaggio grana, noce moscata in abbondanza - volendo anche quache amaretto per avvicinarsi al gusto del tortello mantovano, ottimo in questa versione. Proprio così: niente patata. L’impasto risulta molto umido e mordibo, va lavorato con due cucchiaini e buttato direttamente in pentola nella forma che deciderà di prendere. I fiocchi cotti risalgono e possono essere scolati con una schiumarola e conditi in pirofila con parmigiano e burro aromatizzato alla salvia. I tempi di cottura non sono scientifici come per la pasta, gli gnocchi non scuociono in poco tempo. Alla fine del (lungo) lavoro, si riscalda la pirofila pochi minuti in forno.

In questo piatto ho finalmente trovato il posto giusto dove utilizzare l’aceto balsamico tradizionale di Modena, pregiatissimo prodotto di oltre vent’anni di passaggi in acetaie di diversi legni secondo il metodo antico, un regalo d’amici cui faccio pubblicità in maniera spudorata, tanto siamo ben fuori dai grandi flussi merciari del liberismo. Poche gocce trasformano il sapore in qualcosa di sopraffino.

Il secondo, molto più volgare, consisteva in una cacciatora di coniglio con un sughetto di verdurine tagliate fini fini e a base di peperone.

2/4

Sono cambiati i tempi. Oggi un film così non avrebbe altrettanto plauso, nè dal pubblico nè della critica. Nella versione DVD manca una scena fondamentale, dieci secondi in cui riceve la lettera di licenziamento. Non capisco come si sia potuto togliere un elmento tanto importante. Il film è un’interessante viaggio, un po’ troppo lento e intellettuale per la verità, nell’alienazione e nella solitudine di un uomo qualunque. Ma il finale lo rovina. Forse sarebbe stato molto più scontato ma [chi non l’ha visto non legga oltre] avrei preferito che terminasse le sue solitarie attività senza senso compiendo come ultimo insensato ed ovvio geto il suicidio.

3/4

Stappiamo la bottiglia per le 53 recensioni scritte l’anno scorso, una alla settimana, e inauguriamo il nuovo anno cinematografico. Danny Boyle, regista di Trainspotting, va in India a dirigere un film veramente indiano, non un racconto dall’India di un occidentale, ma un film di Bollywood, con il fato, l’amore vero, un po’ di superficialità e retorica ed anche il ballo collettivo finale alla Victoria Station di Mumbay. Colorato, vivace, appassionato. Qualcuno ha detto "furbetto". Ma soprattutto per la prima volta la consapevolezza di non essere più al centro della rappresentazione del mondo.