[Disclaimer: il presente non è un articolo scientifico attendibile; è da intendersi come un esercizio di didattica della fisica]

Ricognizioni indiziarie tra relatività e quantistica /1

Cosa possiamo imparare dalla semplice osservazione che in fisica avvengono i decadimenti?

In primo luogo, un chiarimento sull’oggetto del discorso. Un decadimento è un fenomeno per cui un corpo A si "rompe" spontaneamente e divide in due (o più) corpi B e C. Ora uno può immaginare che l’oggetto di partenza fosse composto dei suoi cocci e di un meccanismo ad orologeria responsabile della frantumazione, per esempio una molla compressa. Per chiarezza di idee invece si intende abitualmente che tutti i corpi che partecipano non abbiano struttura interna: il corpo A non contiene al suo interno i corpi B e C prima del decadimento. Cioè, usando un linguaggio di meccanica classica, tutta l’energia dei corpi è puramente energia di movimento, cinetica (e per esempio non c’è l’energia potenziale della molla). Vedremo che questo modo di pensare, piuttosto controintuitivo, potrà essere effettivamente superato. In futuro parleremo di particelle invece che di corpi.

In secondo luogo, le ipotesi. Supponiamo (I1) che valga la legge di conservazione dell’energia, o meglio che esista una grandezza positiva additiva con le dimensioni fisiche di un’energia che si conserva. E supponiamo (I2) che valga il principio di relatività Galileiano, che le leggi della fisica siano le stesse in diversi sistemi di riferimento inerziali, in moto relativo rettilineo uniforme. Sono principi intuitivi che nessuno si scandalizzerà di accettare. Non assumiamo invece, come si fa per la formulazione della relatività ristretta, che esista una velocità massima consentita per la propagazione di ogni tipo di segnale, concetto tutt’altro che intuitivo. Assumiamo (I3) che i decadimenti siano possibili.

L’energia a riposo

La prima cosa meravigliosa che succede è che possiamo risalire alla formula più tatuata della fisica, anche se non sapremo darle piena interpretazione. Supponiamo di definire l’energia cinetica di una particella che si muove liberamente nello spazio vuoto (sistema di riferimento: LAB) come in meccanica classica

in termini della massa e della velocità della particella. Possiamo cambiare sistema di riferimento imbarcandoci nel sistema inerziale che viaggia con la particella (sistema di riferimento: CM), e la vedremo ferma, con energia nulla. L’energia non è una grandezza invariante per cambiamento di sistemi di riferimento, ma questo non è un problema: basta che le leggi della fisica, e.g. le leggi di conservazione, rimangano le stesse. Ora supponiamo che nel sistema di riferimento in cui essa è in moto (LAB) avvenga un decadimento in due particelle più piccole, che a seguito del decadimento viaggiano in due direzioni diverse. Tornando nuovamente nel centro di massa (CM) vedremo due particelle che si muovono in direzioni opposto (il perchè a dopo), ognuna con un’energia nonnulla

Energia dal nulla? Impossibile! Pertanto in fisica classica i decadimenti non possono avvenire.

Come facciamo a correggere il tiro? Bisogna ridefinire la funzione energia in modo che la particella ferma possegga una certa energia a riposo. Quanto vale questa energia a riposo? Beh essa deve avere le dimensioni fisiche di una massa per una velocità al quadrato. Noi disponiamo solo del primo ingrediente, il secondo non è dato. Siamo forzati ad aggungere un nuovo ingrediente, con la grandezza fisica di una velocità, che non sia una caratteristica cinematica del corpo, ma una costante universale. Chiamiamola c. L’energia a riposo di una particella risulterà

Sembra solo un gioco di parole? Lo è! Nessuno ha ancora detto che c è la velocità della luce, la velocità di propagazione dei segnali, e che nessun corpo può viaggiare più veloce di c. Ma abbiamo solo scoperto questo: (C1) un corpo in quiete ha un’energia a riposo proporzionale alla massa, e (C2) siamo obbligati ad introdurre una nuova costante universale. Scusate se è poco.

Energia e momento

Per fare qualche passo avanti dobbiamo chiamare in causa anche la conservazione della quantità di moto. Cerchiamo di collezionare dalla mera osservazione che i decadimenti avvengono la maggior quantità possibile di informazione relativa alle due grandezze energia e quantità di moto

ove abbiamo introdotto due funzioni adimensionali che inglobano la dipendenza dalla velocità beta = v/c (velocità espressa in unità di c). Riguardo a gamma, possiamo già dire che

Il momento se presente individua una direzione nello spazio, pertanto non può essere posseduto da una particella a riposo, per la quale lo spazio è isotropo (non stiamo parlando si una simmetria "esterna", dell’ambiente, ma "interna", del sistema). Sempre per ragioni di simmetria - non stiamo qui ad approfondire questi argomenti delicati, che non sono al centro del discorso - possiamo vincolare ulteriormente la forma delle funzioni eta e gamma. La prima dipenderà solo dal modulo della velocità, la seconda sarà direzionata come la velocità:

Per una discussione più approfondita si rimanda ad una puntata futura.

La funzione energia è monotona

Dimostriamo ora un fatto semplice che ci consentirà di spiegare perchè la massa non si conserva, un fenomeno relativistico molto notevole. Possiamo dire di più dell’energia, come funzione della velocità di una particella? Per esempio possiamo dimostrare che essa è una funzione monotona del modulo della velocità? Consideriamo questo semplice argomento. Una particella di massa M da ferma decade in due particelle di ugual massa m. Per la conservazione della quantità di moto queste particelle viaggeranno in direzioni opposte con eguali velocità, e quindi con eguali energie. Nel CM si ha

Nel sistema LAB solidale ad una delle due particelle prodotte, si ha

Supponiamo ora che esista un intorno di  0 entro entro cui l’energia è una funzione strettamente crescente di 0. Per ogni v in quell’intorno, si ha chiaramente E(v) > E(0) e pertanto

ossia in quell’intorno la funzione è convessa. Se invece nell’intorno di 0 la funzione decresce, essa sarà ivi concava (potrebbe ancora essere che la funzione energia sia costante in un intorno dello zero; possiamo escludere questo caso?). Ora possiamo trasformare con Galileo e stabilire con un analogo procedimento che per ogni punto in un suo intorno crescenza e convessità (derivata prima e seconda) sono concordi. E’ chiaro quindi che se vogliamo una funzione sufficientemente regolare, senza discontinuità nella derivata prima (senza cuspidi), la funzione energia (C3) dovrà essere o tutta decrescente e concava o tutta crescente e convessa.

La massa non si conserva

Consideriamo ora un processo di decadimento e scriviamo la legge di conservazione nei tre riferimenti solidali ad ognuna delle tre particelle:

Supponiamo che la massa si conservi, ipotizzando il decadimento in due particelle  B e C la cui somma delle masse è la massa della genitrice, essendone la massa di B una frazione alpha e la massa di C una frazione (1-alpha):

 

Il sistema ammette un’unica soluzione con tutte le gamma pari a 1.  Abbiamo dimostrato che la funzione gamma è strettamente crescente o decrescente nel paragrafo precedente, per cui gli argomenti di tutte le gamma deve essere necessariamente 0, ossia tutte le velocità debbono essere identiche: l’unico modo perchè il decadimento avvenga conservando la massa è che i cocci viaggino appaiati nella stessa direzione della particella A. Se viaggiano in direzioni discordi,  (C4) ci sarà un aumento o diminuzione della massa, a seconda che l’energia sia una funzione crescente o decrescente, un fatto che non siamo ancora riusciti a stabilire.

 

In sintesi

 

Dall’ipotesi (I1,I4) che a simmetrie dello spazio-tempo corrispondano grandezze conservate con le dimensioni fisiche di energia e momento, che (I2) valga il principio di relatività Galileiano e che (I3) i decadimenti siano possibili, abbiamo ricavato che (C1) un corpo ha un’energia a riposo proporzionale alla massa, che (C2) la costante di proporzionalità è una costante universale con il significato fisico di una velocità (al quadrato), che (C3) l’energia è una funzione monotona della velocità del corpo e che pertanto (C4) in un decadimento la massa non si conserva. In questo senso si parla di equivalenza massa-energia.

 

Nelle prossime puntate

 

- Domande necessariamente insolute

- Informazione, entropia, e principio di indeterminazione
- Informazione e rottura di simmetria

- Considerazioni sulla struttura interna delle particelle