Per celebrare degnamente il superamento del penultimo esame che mi separa dalla laurea, ho pensato di dedicare un post ad approfondire ciò che sia per pigrizia che per eccesso di zelo ho omesso di prendere in considerazione, ovverosia le implicazioni pratiche di ciò che stavo studiando, concentrandomi invece sugli aspetti formali utili a passare l’esame.

I processi stocastici sono processi la cui evoluzione temporale è determinata da fenomeni sottostanti di cui non conosciamo i dettagli  ma soltanto alcune proprietà statistiche, e pertanto non possiamo conoscerne deterministicamente lo stato ma soltanto tentare di fare stime e predizioni probabilistiche. I due grandi rami d’applicazione della matematica dei processi stocastici sono la fisica dei sistemi mesoscopici e la finanza matematica. Ovviamente mi sono interessato ai processi stocastici per scopi fisici. Spesso finchè non subentra una teoria fisica che fa uso di particolari risultati, o addirittura ne stimola la scoperta, molta matematica formulata sulla scia di definizioni e teoremi conseguenti l’uno all’altro rimane senza significato e senza importanza. Tuttavia devo ammettere che i processi finanziari sono il modello migliore in cui la teoria matematica dei processi stocastici si esalta, e che il livello di utilizzo dei medesimi da parte dei fisici, per modellare i processi di diffusione è molto più qualitativo e banale. Si può dire che la finanza sia il modello naturale della matematica dei processi stocastici, intendendo quel modello che si prende in considerazione più o meno inconsciamente per la visualizzazione di una teoria, così come ci si raffigura frecce nello spazio per comprendere l’algebra lineare. Nessuna sorpresa dunque se i libri di testo migliori non fanno quasi riferimento agli esempi fisici, ma siano in gran parte indirizzati all’analisi di processi finanziari. Credo che gioverebbe alla fisica impiegare questi strumenti in maniera più massiccia.

Ho studiato sul Baldi, Equazioni Differenziali Stocastiche, testo recentemente rinnovato da una prima versione degli anni ‘80, con l’aggiunta di un capitolo sulle applicazioni finanziarie e la simulazione al calcolatore. Da quello che mi ha raccontato il docente al termine dell’esame, ancora negli anni ‘80 in Europa c’era un livello di sofisticazione finanziaria ridicola a confronto con ciò che veniva combinato negli States, pertanto erano sufficienti equazioni ordinarie se non addirittura l’impiego di funzioni banali per il calcolo di prezzi etc. La finanza derivata è arrivata in Europa più tardi, per cui solo recentemente, come testimoniano le edizioni del Baldi, si è cominciato ad apprezzare il valore di questi modelli nel contesto della finanza. Con tutto ciò non sto dicendo che io apprezzi il mondo sulfureo e virtuale della finanza derivata. Il mio giudizio rimane ancorato alle brevi riflessioni che le due puntate dedicate da Report mi ha permesso di fare, quindi estremamente negativo. Tuttavia non si può non riconoscere a queste applicazioni un interesse scientifico. Il problema è che essendo la matematica dei prodotti finanziari derivati molto complessa, dovrebbe essere appannaggio dei matematici, con un disclaimer grane come una casa che impedisca a squallidi banchieri, finanziarie o compagnie di assicurazione di impiegarli come strumento per fottere i risparmiatori, soprattutto se amministratori pubblici.

Detto questo, ho voluto cercare di capire il funzionamento di questa matematica nel contesto di un campo di cui non conosco niente, e precisamente la prezzazione di call options all’europea, studiati nel contesto di un modello di Black-Scholes, che valse a questi due matematici il premio Nobel per l’economia nel 1997.

Un po’ di retroterra finanziario. Gli strumenti derivati sono titoli i cui prezzi sono determinati dal valore di strumenti sottostanti che sono scambiati sul mercato, e quindi hanno un valore di mercato determinato dalle comuni dinamiche di domanda-offerta, ed eventualmente virtualmente gonfiati da inflazione, stagflazione, recessione e crisi. I sottostanti tipicamente sono azioni, titoli di stato, valute, ma anche indici finanziari, fondi d’investimento etc. L’intuizione di Black e Scholes fu propro quella di comprendere come il prezzo di un prodotto derivato è automaticamente determinato se i sottostanti sono scambati in un mercato, ed il loro modello permette di prezzarli. I prodotti derivati tuttavia sono strumenti molto pericolosi, perchè se da una parte il modello di Blach-Scholes permette di calcolare l’effetto di un economia locale più o meno solida, ma comunque basata su una realtà produttiva e di scambio, non permette l’inverso, ovverosia di risalire dall’andamento del derivato ai prezzi di mercato, e quindi in pratica non permette di prevedere gli effetti del derivato sui sottostanti e sulle economie.

I derivati sono scambiati su mercati appositi, in Borsa o over the counter (fuori mercato, come in banca etc.). Ho intenzione di documentarmi meglio sui derivati, che al momento nel mondo hanno una consistenza di 300 trilioni di dollari, quasi tutti in banche americane. Per il momento mi concentro solo sul prodotto derivato che ci interessa, l’opzione. Acquistando un opzione si acquista il diritto a comprare (call) o vendere (put) un titolo entro una certa data (opzione americana) oppure esattamente in una certa data (opzione europea) ad un certo prezzo fissato, succeda quello che succeda. Esempio: pagando 1 euro io posso fare un pieno di 100 litri di benzina tra un mese ad 1.50 al litro. Se esattamente tra un mese la benzina vale meno di 1.49, mi conviene rinunciare all’opzione e rimetterci un euro, se invece vale più di 1.51 esercito la mia opzione e risparmio. Se addirittura la benzina fosse salita fino a 1.52, io potrei comprarla a 1.51 (comprensivo del prezzo dell’opzione) e rivenderlo a 1.52 su un altro mercato guadagnandoci un euro (a meno di tasse varie e diritti), realizzando così quello che si dice un arbitraggio.

L’arbitraggio e la speculazione sono due pratiche finanziarie che consistono nel ricavare un profitto sfruttando semplicemente le asimmetrie nei prezzi del mercato. Il primo si attua quando si sposta un prodotto da un mercato all’altro, in senso, diciamo, spaziale. La seconda quando si ritira e riimmette il prodotto nello stesso mercato, in momenti diversi, sfruttando le asimmetrie temporali. La speculazione ovviamente poggia in genere su aspettative non ben fondate sul futuro delle variaili aleatorie in gioco, ed in particolare dall’atteggiamento assunto dagli altri operatori, piuttosto che su solide fondamenta statistiche (per esempio sulla produttività di un’azienda), da questo il nome.  Come ovvio, la speculazione dovrebbe essere una pratica teoricamente a media nulla: se tanti operatori speculano in maniera differenziata, mediamente tanti ci guadagnano e tanti ci perdono (e anzi in perdita, visto che il banco vince sempre, tra tasse e prezzi fissi d’ingresso nel gioco). Questo non è più vero se esiste asimmetria informativa o corporazioni. In questo caso la speculazione può portare a creare profitti virtuali gonfiando bolle di sapone che scoppiando lasciano a piedi i poveri risparmiatori. Parimenti in un mercato che si autoregola l’arbitraggio non dovrebbe essere possibile, se non per rari eventi occasionali e giusto il tempo di assestamento dei prezzi.

Tuttavia l’opzione call può creare situazioni di arbitraggio scellerato. Chiaramente, se il prezzo di un’opzione fosse nullo, chiunque avrebbe vantaggio a comprarla per poi avvalersi del diritto se i prezzi sono aumentati e rivendere su altri mercati i prodotti sottostanti. Quindi il prezzo dell’opzione deve essere determinato in modo da evitare la possibilità dell’arbitraggio, dipendentemente quindi dalla dinamica stocastica dei prodotti sottostanti. Inoltre il prezzo del derivato dipende dal mercato stesso dei derivati, così come il sottostante.

Le ipotesi del modello sono quindi che non sia possibile arbitraggio, che non ci siano costi di transazione e che il tasso di interesse r sia cosante, e che le azioni del sottostante siano teoricamente divisibili infinitamente (cioè non siano "quantizzate", come in effetti sono), e che la vendita e acquisto del sottostante e del derivato possano avvenire in ogni istante (tempo continuo). Infine l’ipotesi fondamentale è che i prezzi del sottostante seguano un moto browniano geometrico, soluzione dell’equazione differenziale stocastica

analogo stocastico dell’equazione differenziale esponenziale, con soluzione analitica

Il moto browniano geometrico è sostanzialmente l’esponenziale di un moto browniano, un processo positivo (come deve essere un prezzo) oscillatorio, markoviano, ed una martingala.

[to be continued…]