Lettura di Udo Seifert, Entropy production along a stochastic trajectory and an integral fluctuation theorem, e di Ken Sekimoto, Langevin Equation and Thermodynamics, con annessi appunti. Sono articoli semplici ma di fondamentale importanza per porre le basi di una termodinamica microscopica. Sekimoto nella sua introduzione afferma che tra i tre livelli possibili di descrizione dei fenomeni statistici (Hamiltoniano deterministico microscopico / mesoscopico stocastico / termodinamico, ordinati per successiva cancellazione di dettagli deterministici) esistono relazioni (meccanica statistica <-> termodinamica, meccanica statistica <-> processi stocastici tramite il formalismo di Zwanzig-Mori, da cercare) e questo articolo colma l’ultimo vuoto lasciato nell’interpretazione di grandezze termodinamiche a livello microscopico. In verità Sekimoto con fatica minima si riduce ad esporre una versione microscopica per la prima legge della termodinamica per l’equazione di Langevin, e a derivare la seconda legge per medie di ensemble. Molto più interessante il lavoro di Seifert, che definisce un’entropia microscopica per processi di Langevin e per master equations.

Un equazione microscopica per l’entropia? Scrivendo gli appunti mi sono imbattuto in questa equazione alle derivate parziali per la variazione di entropia di una traiettoria stocastica associata ad una equazione di Langevin

 Mi chiedevo se potesse essere di qualche interesse. Discende in maniera molto diretta dall’equazione di Fokker-Planck, ed il suo contenuto matematico non è sicuramente interessante, visto che il problema è ben compreso e risolto, e che comunque deve essere mediaa per potersi liberare della componente stocastica. Eppure potrebbe essere utile cercare di dare un interpretazione microscopica in termini di flussi di entropia da e verso il mezzo e di aumento intrinseco dell’entropia lungo la traiettoria. Io ci vedo nel secondo termine un flusso di entropia dal sistema, e nel terzo termine una variazione di entropia interna al sistema proporzionale alle fluttuazioni dell’entropia stessa. 

Rinormalizzare la dinamica? Vista una certa mia fissazione con concetto (filosofico più che con lo strumento matematico) di rinormalizzazione, ipotizzavo anche, del tutto estemporaneamente, se non fosse possibile passare attraverso i vari livelli di descrizione più o meno deterministica (meccanica statistica -> Chapman-Kolmogorov -> equazione di Langevin -> termodinamica) per successive applicazione di una procedura di rinormalizzazione di un qualche tipo, anche eventualmente condotta rispetto ai tempi oltre che le distanze. E ancora su questa linea, quando si associa una prima legge della termodinamica ad un sistema+ambiente, ovviamente si definisce cosa è sistema e cosa è ambiente; gli scambi di energia tra i due sono generalmente interpretati come scambi di calore e flussi di materia, mentre la variazione dell’energia interna è un’astrazione per non considerare i fenomeni di scambio di calore all’interno deli sottosistemi del sistema. Per esempio nel caso di una particella immersa in un campo di forze, la variazione di energia interna in verità è energia del campo, più energia della particella più scambio di calore tra i due. Chissà che non sia possibile portare questo ragionamento alle estreme conseguenze fino a liberarsi dell’energia interna e definire tutto in termini di un’energia di fondo (massa-energia?) e di scambi di calore, e mediante applicazioni successive di una procedura di rinormalizzazione ottenere man mano prime leggi della t.d. a tutti i vari livelli di approssimazione statistica, stocastica o termodinamica della realtà?