Lettura e appunti dal Handbook of Stochastical Methods di Gardiner. E’ molto illuminante scoprire come la semplice richiesta di Markovianità di un processo stocastico vincoli l’evoluzione temporale della proabilità condizionata in maniera così chiara e concisa. L’equazione di Chapman-Kolmogorov per le probabilità condizionate p = p(x|y), troncata al second’ordine nell’espansione di Kramers-Moyal, contiene tre termini: un termine di drift che preso singolarmente fornisce semplicemente l’equazione di Liouville:

e cattura quindi il moto deterministico in un campo A; un termine di diffusione, che fornisce le fluttuazioni continue attorno alla traiettoria deterministica. Questi due termini, che garantiscono la continuità della traiettoria, insieme formano l’equazione di Fokker-Planck:

Per tempi brevi partendo dalle condizioni iniziali opportune questa fornisce un processo gaussiano, quindi continuo, che lentamente si allarga a partire dalla delta iniziale. L’ultimo termine contiene l’informazione sui salti discontinui, detti jump processes; nel caso in cui lo spazio delle fasi sia discreto non esiste ovviamente la possibilità di traiettorie continue, per cui l’equazione di Chapman-Kolmogorov si riduce alla master equation: