La formula dell’entropia inscritta sulla lapide di L. Boltzmann secondo il suo volere.

Abbiamo parlato di sistemi, aperti, chiusi o isolati, senza mai entrare nel dettaglio di come sia composto o di cosa succeda dentro il sistema. Parallelamente a questo approccio "dall’alto", macroscopico, si può cercare di partire dai singoli componenti del sistema e di cercare di dare un’interpretazione microscopica delle grandezze termodinamiche come l’entropia.

Cos’è lo stato di un sistema.

Probabilità. 

Divagazione. Il logaritmo. Per poter parlare di entropia a livello microscopico abbiamo bisogno di capire alcune proprietà di una funzione matematica elementare, il logaritmo. Per parlare di logaritmo parliamo prima di un’altro oggetto matematico parente del logaritmo, l’esponenziale, che è più intuitivo. Entrambi sono "funzioni", vale a dire delle macchinette matematiche che trasformano un numero (scelto in un insieme appropriato, ma non sempre qualsiasi) in un altro numero. Se io gli dico un numero x, l’esponenziale mi sputa fuori un numero y che si dice essere l’esponenziale di x:

e quest’associazione è univoca e determinata per ogni x appartenente all’insieme di definizione della funzione (nel caso dell’esponenziale, tutti i numeri reali possono essere esponenziati). Per esempio se uno gli dice 0 l’esponenziale sputa fuori 1:

e così via con gli altri numeri. Non ci serve sapere che razza di numeri vengano effettivamente sputati fuori da un esponenziale, ma è per noi fondamentale una proprietà particolare di questa funzione: se faccio l’esponenziale di un numero che è la somma di due numeri a e b, ottengo il prodotto degli esponenziali di a e di b

L’esponenziale trasforma quindi somme in prodotti, ed infatti come visto prima l’esponenziale dell’elemento neutro per l’addizione (0) è proprio l’elemento neutro per la moltiplicazione (1). Il logaritmo (naturale, per distinguerlo da altre funzioni simili) è la funzione inversa dell’esponenziale, cioè quella che compie il tragitto a ritroso. Se uno gli dice x, con un gioco di parole il logaritmo sputa fuori quel numero y il cui esponenaizle è proprio x:

 

Per esempio il logaritmo di 1 è proprio 0, al contrario che per l’esponenziale. E viceversa il logaritmo avrà la proprietà di trasformare prodotti in somme:

Anche per il logaritmo, non ci serve davvero sapere quale siano effetivamente i numeri che saltano fuori, ci interessa solamente questa proprietà. Ora vediamo come si può ricavare un’altra proprietà che ci interessa in seguito. Quant’è il logaritmo di 1/a? Aggiungiamo e togliamo il logaritmo di a, e ricordando che la somma dei logaritmi è il logaritmo del prodotto si ottiene:

Questo è un riflesso del fatto che l’esponenziale oltre a mandare somme in prodotti, manda prodotti in potenze, e viceversa il logaritmo manda potenze in prodotti: in questo caso manda la potenza -1 di a nel prodotto di -1 per il logaritmo di a. Chi non vuole confondersi  oltre può saltare al prossimo capitolo. Per esercizio, proviamo a ragionare su cosa può essere il logaritmo di 0. Dalla formula sopra, siccome 0 X b = 0 qualunque sia b, dovrebbe essere:

Sembra un po’ gratuito in effetti. La cosa ha senso se considerate che effettivamente il logaritmo manda l’elemento nullo del prodotto, ossia quello elemento (0) che moltiplicato per qualsiasi numero da sempre se stesso:

nell’elemento nullo della somma, ossia un elemento che sommato a qualsiasi altro numero da sempre se stesso:

Entropia informativa

Perchè abbiamo dovuto tirare in ballo esponenziali e logaritmi? La ragione è questa: nella parte prima abbiamo visto come le variabili termodinamiche siano di due specie: intensive (pressione, temperatura), vale a dire che non cambiano all’aumentare del sistema, oppure estensive (volume, entropia), vale a dire che al variare della dimensione del sistema crescono proporzionalmente; cioè se unisco due gas la cui pressione è (per entrambi) p, la pressione del sistema congiunto sarà sempre p, mentre il volume e l’entropia sono la somma dei volumi e delle entropie dei due sistemi. Abbiamo visto, allargando un po’ il concetto di sistema, che esistono grandezze che non sono estensive o intensive; per esempio la probabilità: le probabilità congiunte sono prodotti delle probabilità dei singoli sistemi. Ecco qua l’anello mancante! Infatti prendendo il logaritmo delle probabilità otteniamo grandezze additive! Ecco il pretesto per poter fare questo grosso salto concettuale che consente di definire l’entropia informativa, o microscopica, di un singolo stato, come logaritmo della probabilità che quello stati si realizzi:

ove kB è una costante che poniamo uguale a 1 nel resto della discussione*. Facciamo un piccolo esempio per chiarire: prendiamo il lancio di un dado. Ogni risultato ha probabilità 1/6; la probabilità congiunta di due risultati specifici consecutivi è 1/36. L’entropia risulta - ln 1/36 = ln 6*6 = ln 6 + ln 6 = 2 ln 6, pari al doppio dell’entropia del singolo lancio; quindi è proprio una grandezza estensiva!

* Whaaaat? Come si fa a porre uguale a 1 una costante? Basta prendere delle unità di misura. Per esempio, la velocità della luce è chimata "c". Se noi decidiamo di misurare tutte le velocità in unità di "c", cosicchè la velocità di una macchina si possa esprimere come "decimillesimodimiliarderimodimilionesimo della velocità della luce", quanto misura la velocità della luce in queste unità di misura? Proprio 1.