Lettura e appunti dal Handbook of Stochastical Methods di Gardiner. E’ molto illuminante scoprire come la semplice richiesta di Markovianità di un processo stocastico vincoli l’evoluzione temporale della proabilità condizionata in maniera così chiara e concisa. L’equazione di Chapman-Kolmogorov per le probabilità condizionate p = p(x|y), troncata al second’ordine nell’espansione di Kramers-Moyal, contiene tre termini: un termine di drift che preso singolarmente fornisce semplicemente l’equazione di Liouville:

e cattura quindi il moto deterministico in un campo A; un termine di diffusione, che fornisce le fluttuazioni continue attorno alla traiettoria deterministica. Questi due termini, che garantiscono la continuità della traiettoria, insieme formano l’equazione di Fokker-Planck:

Per tempi brevi partendo dalle condizioni iniziali opportune questa fornisce un processo gaussiano, quindi continuo, che lentamente si allarga a partire dalla delta iniziale. L’ultimo termine contiene l’informazione sui salti discontinui, detti jump processes; nel caso in cui lo spazio delle fasi sia discreto non esiste ovviamente la possibilità di traiettorie continue, per cui l’equazione di Chapman-Kolmogorov si riduce alla master equation:

L’altro filone di letture che piacerebbe continuare a portare avanti è quella sugli assiomi della meccanica quantistica, ed in particolare il principio di equivalenza proposto da Faraggi e Matone. In particolare due spunti potrebbero essere interessanti:

1 - Vedere se e come c’è overlap tra l’approccio tramite principio di equivalenza e la proposta di Lucien Hardy di derivare la meccanica quantistica da cinque semplici assiomi, quattro dei quali sufficienti per descrivere la teoria delle probabilità. Il quinto assioma è un assioma di esistenza di una trasformazione continua tra gli stati di un sistema quantistico finito dimensionale - mentre l’approccio di Faraggi-Matone prevede l’esistenza di una trasformazione invertibile tra stati, ma in un setting completamente diverso.

2 - Vedere se e come è possibile ripristinare lo spin e la sua quantizzazione, vedendo per esempio che conseguenze ha l’EP sul momento angolare orbitale p X q. Anche se ovviamente il momento angolare orbitale non è l’analogo classico dello spin, o del momento angolare totale, pure l’approccio EP ci ha abituati a discernere quello che è p all’interno della teoria e quello che il momento classico. in particolare non esistendo un isomorfismo canonico tra tangente e cotangente non è possibile parlare di velocità, ne di equazioni del moto, ma solo di trasformazioni canoniche. il p della teoria pur essendo formalmente analogo al momento non ha un significato fisico, come d’altra parte l’azione quantistica S(q), che non corrisponde all’azione semiclassica che si trova in approssimazione WKB, ma è anzi definita in maniera tale che l’equazione d’onda sia effettivamente exp iS(q). non stupirebbe quindi di scoprire che queste entità matematiche, che estendono quantisticamente le nozioni classiche, possano contenere di più del loro analogo - per esempio nel caso di p X q, chissà che passando poi al formalismo quantistico non salti veramente fuori lo spin.

La formula dell’entropia inscritta sulla lapide di L. Boltzmann secondo il suo volere.

Abbiamo parlato di sistemi, aperti, chiusi o isolati, senza mai entrare nel dettaglio di come sia composto o di cosa succeda dentro il sistema. Parallelamente a questo approccio "dall’alto", macroscopico, si può cercare di partire dai singoli componenti del sistema e di cercare di dare un’interpretazione microscopica delle grandezze termodinamiche come l’entropia.

Cos’è lo stato di un sistema.

Probabilità. 

Divagazione. Il logaritmo. Per poter parlare di entropia a livello microscopico abbiamo bisogno di capire alcune proprietà di una funzione matematica elementare, il logaritmo. Per parlare di logaritmo parliamo prima di un’altro oggetto matematico parente del logaritmo, l’esponenziale, che è più intuitivo. Entrambi sono "funzioni", vale a dire delle macchinette matematiche che trasformano un numero (scelto in un insieme appropriato, ma non sempre qualsiasi) in un altro numero. Se io gli dico un numero x, l’esponenziale mi sputa fuori un numero y che si dice essere l’esponenziale di x:

Poster del Savoy Ballroom 

Lezione soft, più discorsiva e meno storica. Il discorso si evolve a partire dalla distinzione tra trasmissione orale e scritta e di un analisi delle musiche afroamericane come musiche di tradizione orale, ed un confronto (con qualche frecciatina) con la musica classica. Le culture orali sono legate ad una forte ritualità partecipata, verso i riti codificati scritti (anche religiosi). Nel jazz un esempio è il famoso "yeah" che sprona il musicista se sta facendo bene, quando in musica classica non è possibile e non avrebbe senso la trasmissione di un feedback al musicista. Gli elementi caratteristici dei testi orali sono l’utilizzo della ripetizone continua, per imprimere i concetti, il procedere per blocchi (senza forme complesse), e l’utilizzo di formule e frasi pronte (identificate per esempio nell’Odissea e nel jazz di Parker).

L’oralità non è soltanto un mezzo di trasmissione, ma si traduce anche in una fisicità e corporeità della produzione culturale. Alla base di una produzione orale vi è la coscienza di una teoria implicita, un corpus di regole conosciute e tramandabili soltanto per prova ed errore, facendo sentire quel particolare ritmo e provando a ripeterlo, per esempio - contrapposta alla teoria esplicita (della musica per esempio) delle tradizioni scritte.

Il legame tra jazz e corporeità è sancito dal fatto che il jazz è stato solo musica da ballo (o da club) fino a metà degli anni ‘70 (prima di essere relegato nei teatri); la presenza di una massa di gente che balla rinvigorisce i musicisti, e talvolta Count Basie con la sua orchestra chiedeva esplicitamente di potersi fermare in sale da ballo a suonare per qualche giorno per far rinascere i suoi musicisti. Il Savoy Ballroom ad Harlem conteneva 3000 persone. Questo tipo di interazione con il pubblico è estraneo alla tradizione scritta della musica classica. Le tradizioni scritte invece consentono una concezione più strutturata e complessa della forma musicale e la possibilità di dare uno spessore ai personaggi (o al contrappunto ad esempio).

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Immagine da Wikipedia, Bantu. In giallo le aree bantu.

Proviamo a trascrivere gli appunti delle lezioni di Jazz. Il docente è Stefano Zenni, presidente della Società Italiana di Musicologia Afroamericana (SIDMA), stampa monografie con Stampa Alternativa ed Editori Riuniti, è stato uno dei conduttori de "Il Terzo Anello" di Radio 3 e collabora con numerose riviste (di cui parla male), tra cui anche Amadeus. Organizza festival e concerti. La prima lezione di storia del Jazz è una divagazione sull’origine della parola Jazz e su cosa sia stato alle origini il Jazz, e di come l’etichetta Jazz sia stata appiccicata a musiche le più diverse, taltolta in antitesi l’una all’altra, più o meno nobili o commerciali o popolari o piagate da divismo e personalismo. In corsivo i suoi commenti più caratterizzanti il tipo.

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L’origine della parola Jazz è discussa. La tesi più accreditata è che sia un parola di lontana origine Bantu ("popolo"), un ceppo linguistico e culturale comprendente tribù e popoli dell’Africa centrale e meridionale, popoli storicamente assoggettati alla schiavitù degli africani delle aree islamizzate (a nord della Nigeria), che anche in periodo di schiavismo europeo per le colonie hanno svolto la funzione di intermediari e governato i flussi di schiavi dall’Africa, verso le Americhe. I popoli bantu sono popoli guerrieri i cui schiavi sono stati utilizzati anche come soldati. Per la loro riottosità Carlo V di Spagna rinunciò all’acquisto di questi schiavi.

Tutti i flussi di schiavi verso le Americhe facevano tappa per Cuba e Haiti, dove gli schiavi si fermavano parecchi mesi, per poi proseguire verso i porti americani, in particolare New Orleans. Dati i lunghi tempi per la tratta, nei luoghi di passaggio hanno fatto in tempo a formarsi comunità e a rielaborarsi tradizoni e riti.

La tesi che la parola Jazz sia di origine Bantu trova conforto nel fatto che molte parole bantu legate alla musicalità, al ritmo e alla fisicità siano sopravvissute in questi luoghi di passaggio. Esempi, abbastanza clamorosi, sono tutte le parole caratteristiche della musica cubana: rumba, tango, mambo, milonga, conga, bongo, samba, e ancora sarabanda, dallo spagnolo "zarabanda", unione di due parole bantu che significano "sollevare a spirito". A New Orleans sono attestate due parole bantu papabili come candidati per jazz: Jaja, che significa "suonare e ballare", e con lo stesso significato Dinza, poi diventata Jiz.

Tuttavia c’è un enorme differenza tra le culture bantu sopravvissute nei paesi cattolici, e le culture afroamericane nei paesi protestanti. I cattolici (Francesi, Spagnoli e Portoghesi) e i protestanti avevano politiche profondamente diverse per gestire la schiavitù. Fino ai primi anni dell’800 i primi erano fondamentalmente tolleranti per lingue e culture, purchè fossero innestate nel nuovo culto; le cerimonie e parate per i santi potevano contenere ritmi e strumenti africani, vi era insomma sincretismo religioso. In questo modo però permisero la trasmissione di una coscienza comune, e tramite i riti l’organizzazione di rivolte, che ad Haiti portarono eventualmente nel 1804 alla clamorosa rivoluzione che cacciò i francesi e trasformò l’isola nella prima repubblica nera (Mingus fa occasionalmente riferimento alla vicenda). La Francia pretese in seguito per risarcimento che fosse imposto ad Haiti un debito enorme, che la ha oppressa e consegnata nelle mani di dittatori corrotti. Il debito è rimasto fino a pochi anni fa (visione consigliata: The Agronomist, di Johnatan Demme). A Cuba gli Africani sostituirono praticamente gli Indios locali, che non erano altrettanto forti fisicamente e caratterialmente, e spesso si suicidavano, mentre per gli africani il suicidio era culturalmente impossibile.

Primi appunti per la tesi, su master equation ed entropia microscopica, in pdf. Sopra, la definizione di entropia microscopica per l’intero sistema isolato, comprendente sia il termine di entropia informativa dovuta all’evoluzione della traiettoria nello spazio delle fasi del sistema, sia un termine di interazione con la sorgente stocastica. Così come è definita l’entropia totale non decresce.

Post aperto per appuntarsi eventuali nuovi elementi imparati in giro relativi all’entropia dell’universo, nel piano complessivo di un tentativo personale di avere una comprensione profonda e variegata del concetto di entropia. Al momento riporto solo il dubbio originario, suggerito durante il corso introduttivo alla Cosmologia da Sabino Matarrese.

1. L’entropia (informativa) dell’Universo è diminuita. L’universo era primordialmente un oggetto elementare, sostanzialmente parametrizzabile con la sola temperatura, totalmente entropizzato. Espandendosi, raffreddandosi ed entrando in gioco le varie famiglie di particelle elementari e le relative interazioni, si è avuto un arricchimento della fisica, e in particolare con la formazione delle strutture cosmiche, sottesa dall’attrazione gravitazionale, si è raggiunta una notevole complessità che ha portato all’attuale stato dell’arte, che è enormemente più ricco e variegato di quanto lo stato iniziale lasciasse intendere. L’informazione è quindi cresciuta, e per contro l’entropia informativa del sistema diminuita. Si potrebbe quindi dedurre che l’entropia dell’universo è diminuita.

2. L’entropia dell’universo non diminuisce. E’ una frase spesso riscontrata che non si riferisce all’Universo ma ad un universo teorico concepito come spazio vuoto in cui vengono immersi i sistemi di interesse. Allora la seconda legge della termodinamica stabilisce senza via di fuga l’ineluttabilità della non diminuzione dell’entropia. Tuttavia la seconda legge della temodinamica si riferisce ad un sistema in equilibrio termico soggetto puramente alla sua evoluzione statistica; condizioni irrealizzate nell’Universo.

3. Entropia lontano dall’equilibrio. L’universo è ben lungi dall’essere un sistema all’equilibrio, oltre all’essere ben lungi dall’essere omogeneo e isotropo. I cosmologi hanno bisogno di utilizzare una termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio, fondata sulla meccanica dei processi stocastici.

4. L’entropia del campo gravitazionale. La soluzione concettuale all’inghippo sta nel fatto che quando si definisce in meccanica statistica l’entropia, non si considera affatto un sistema soggetto a campi esterni o di particelle interagenti. Il campo gravitazionale agisce contro l’entropizzazione del sistema lavorando per formare strutture. Ma lo sfruttamento potenziale gravitazionale ed il livellamento termico tolgono al campo gravitazionale la possibilità di fornire ulteriore informazione strutturale, ed eventualmente quando tutte le interazioni saranno congelate perchè all’equilibrio, e finalmente l’Universo avrà raggiunto un equilibrio "chimico", allora vi sarà un effettiva entropizzazione informativa e l’eventuale morte termica. Sarebbe necessario definire un entropia del campo gravitazionale in modo che l’entropia totale del sistema aumenti sempre, ma pare che non sia possibile, come anche non è possibile definire una conservazione dell’energia totale. Provocatoriamente Matarrese afferma che l’entropia dell’Universo diminuisce e l’energia dell’Universo non si conserva…

5. Entropia ed espansione accelerata. Ci sono numerosi cosmologi che ritengono che la costante cosmologica sia solo un effetto dovuto alle inomogeneità dell’universo, altrimenti dimenticate quando si derivano le equazioni di Friedmann-Robertson-Walker. Facendo calcoli pertubativi è possibile a volte ottenere equazioni del moto per l’Universo con diversi parametri di espansione. Tutti gl approcci sono comunque causalistici. In fisica esiste però sempre la visione finalistica. Ora l’idea balorda. Che non sia possibile affrontare il problema da un punto di vista termodinamico? Ammettiamo che sia possibile definire un’entropia del campo gravitazionale, e che tramite la termodinamica dei sistemi lontani dall’equilibrio sia possibile effettivamente valutare l’entropia totale dell’universo, quella informativa più il flusso di entropia-calore dal campo gravitazionale. Allora chissà, che la richiesta di un aumento dell’entropia non vincoli la dinamica dell’Universo ad essere accelerata. Viceversa, si potrebbe mostrare che in un universo in espansione non accelerata l’entropia diminuisce. Sarebbe un risultato clamoroso, perchè indichierebbe che l’espansione accelerata è necessaria per insondabili ragioni dinamiche, senza ingredienti esotici ma puramente per effetti gravitazionali.

Concerto-chiaccherata-aperitivo natalizio. Prima parte: Bethoven, variazioni su un tema dell’Eroica; quarta ballata di Chopin. Seconda parte: musiche di Satie e letture da "Quaderni di un mammifero": prima Gymnopedie, "La giornata del musicista", prima Gnossienne, introduzione e una dozzina di pezzi da Sports e Divertissments. Finale del concerto a sorpresa. Un leggero cambiamento di tono rispetto alle atmosfere frivole e allegre del concerto. Come regalo di Natale. Come buon auspicio. Un’introspettiva su un genere che unisce tutti gli autori e le opere suonate, e che introduce il prossimo concerto: La Marcia Funebre. Le marce funebri sono un tratto che unisce le opere eroiche di Beethoven (secondo movimento della terza sinfonia, sonata in Lab con la marcia funebre per la morte dell’eroe). Tuttavia non si è eseguito Beethoven, ma quella celebre di Chopin, di Edrioftalma di Satie (parafrasi ironica da Chopin, o come scrive lui, dalla celebre mazurca di Schubert), e infine l’ultimo movimento della prima sonata di Scriabin.
 

Pagg. 1,4,5 qui

CONCORSO LETTERARIO

Dedicato a lor che aman’ndar di penna
e riempir i fogli di scarabocchi
non sarà mai che questo non li tocchi
prendetela come annalizia strenna

Stiamo organizzando per voi un concorso
non che sia una vera competizione
in palio non vi è remunerazione
qualche libro  e di vinello un sorso

Si tratterà di scrivere un racconto
i dettagli li rimandiamo al bando
prossimamente su queste colonne

entro aprile dovrà essere pronto
a maggio la giuria giudicando
festòn a giugno per uomini e donne!

Un’allieva di pianoforte un giorno chiese al suo maestro le ragioni della sua antipatia per certi pezzi   di Ludovico Einaudi, e perchè si ostinasse a proporle di studiare un insignificante preludio di Chopin. Non l’avesse mai fatto!

Fisica. La vibrazione di una sistema oscillante, come una corda, può essere scomposta in modi fondamentali di oscillazione, detti “armonici”. Il più fondamentale equivale all’oscillazione coerente di tutta la corda sottoforma di un’unica pancia (come per il salto della corda), gli altri sono relativi a moti con un maggior di punti fissi (nodi) lungo la corda. Ogni modo produce un suono puro ed ha un’intensità relativa (spettro), che determina l’altezza percepita il timbro dello strumento.

Numerologia. Immaginate di essere un antico sàtiro greco alle prese con un mazzo di corde con cui costruire una cetra. Volete stabilire un sistema di suoni fisso con cui accordare lo strumento. Decidete di usare un sistema “naturale” basato sugli armonici, ossia sulla divisione e moltiplicazione  esatta della lunghezza della corda. Dividendola per 2,4,8 etc.  ottenete delle note fondamentalmente uguali a quella di partenza, solo più acute. Avete inventato l’intervallo di ottava. Prendendone solo un terzo si ottiene invece un suono autenticamente nuovo. Potete continuare a dividere per tre e ottenere una molteplicità di suoni nuovi (ogni tanto raddoppiate la corda se diventa troppo corta). Quanti sono questi suoni, infiniti? O non è che prima o poi il cerchio si chiude e si torna al suono di partenza? Ovverosia, in termini matematici, esistono due numeri n e m tali che 1/3n = 1/2m ?
La risposta è no, ma quasi: esistono due numeri per cui quelle due potenze si avvicinano parecchio. E sono i due numeri magici della musica: 12 e 7. Dopo 12 divisioni della corda in tre parti si è (approssimativamente) tornati al suono di partenza (salvo 7 salti discendenti di ottava). Insomma il vostro sistema distingue chiaramente 12 suoni, raggiungibili quasi esattamente con un salto di un nuovo intervallo che chiamiamo di “quinta”. Rappresentando i dodici suoni ottenuti per salti di quinte lungo il quadrante di un orologio, ottenete il “circolo delle quinte”, qui a fianco rappresentato.